专项29 二次函数与直角三角形有关的问题（原卷版）.pdfVIP

专项29二次函数与直角三角形有关的问题

直角三角形的存在性问题

1.找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角

顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直

线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点

2.方法：（1）以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1

（2）以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用

相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解

下面主要介绍2种常用方法：

【方法1几何法】“两线一圆”

（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周

角为直角）

如何求得点坐标？以C2为例：构造三垂直．

AMMB313

易证AMBBNC2，由A、B坐标得AM2代入得：BN故C2坐标为（，0）

BNNC222

AMMC3

、求法相同，如下：易证AMNB,由A、B坐标得AM1，BN3，

C3C4C3C3

C3NNB

1a

设MC3a,NC3b代入得：,即ab3,又ab4,故a1或3

b3



故坐标为2，0，坐标为（4，0）

C3C4

【方法2代数法】点-线-方程

不妨来求下C1：

（1）表示点：设C1坐标为（m,0），又A（1，1）、B（5，3）；

（2）表示线段：AB25，A22，

C1（m-1）1

22

，

BC1（m-5）3

2223

（3）代入得方程20，解得：m

（m-1）（m-5）3

2

1

【方法勾股定理】

2

【典例1】（2021秋•建华区期末）抛物线y＝x+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三

点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC

（1）求抛物线的解析式；

（2）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的

坐标；若不存在，请说明理由

【变式1-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），

与y轴交于点C（0，3）

（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；

（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使