2025届高考数学二轮专题复习与测试专题1直线与圆.docVIP

板块五解析几何

微专题1直线与圆

小题考法1直线的方程

[核心提炼]

1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0;l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.

2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).

3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).

(1)若直线l：(a＋1)x－y＋3＝0与直线m：x－(a＋1)y－3＝0互相平行，则a＝(D)

A．－1 B．－2

C．－2或0 D．0

【解析】易得(a＋1)×[－(a＋1)]＋1＝0，即(a＋1)2＝1，解得a＝－2或a＝0，又－3(a＋1)－3≠0，所以a≠－2.故a＝0符合题意．故选D.

(2)已知三条直线l1：4x＋y＝1，l2：x－y＝0，l3：2x－my＝3，若l1关于l2对称的直线与l3垂直，则实数m的值是(D)

A．－8 B．－eq\f(1,2)

C．8 D．eq\f(1,2)

【解析】易知直线l1：4x＋y＝1关于直线l2：x－y＝0对称的直线方程为x＋4y＝1，又直线l3的方程为2x－my＝3，

由题意得1×2＋4·(－m)＝0，解得m＝eq\f(1,2).故选D.

(1)两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2均存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．

(2)解决对称问题的方法

点关于直线的对称点，点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在且不为0的情况，斜率不存在或斜率为0时较简单).

特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于直线y＝x的对称问题采用代入法，如(1，3)关于直线y＝x＋1的对称点为(3－1，1＋1)，即(2，2).

1．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为_________．

解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,2x＋3y－8＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))

所以直线l1与l2的交点为(1，2).若直线l的斜率不存在，则此时直线l：x＝1，显然此时不满足点P(0，4)到直线l的距离为2，即直线l的斜率存在．

设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，

即kx－y＋2－k＝0，因为点P(0，4)到直线l的距离为2，

所以eq\f(|－4＋2－k|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝0或k＝eq\f(4,3)，

所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.

答案：y＝2或4x－3y＋2＝0

2．已知△ABC的顶点A(4，3)，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分线所在直线的方程为x＋2y－5＝0，则AC边所在直线的方程为____________．

解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5＝0，,4x＋13y－10＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－2，))

所以点B的坐标为(9，－2).

设点A(4，3)关于直线x＋2y－5＝0的对称点为A′(x0，y0)，

则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3－y0,4－x0)×（－\f(1,2)）＝－1，,\f(4＋x0,2)＋2×\f(3＋y0,2)－5＝0，))

解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2，,y0＝－1，))所以点A′的坐标为(2，－1).

因为点A′(2，－1)在直线BC上，

所以直线BC的方程为y－(－1)＝eq\f(－2－（－1）,9－2)(x－2)，

即x＋7y＋5＝0.

设点C的坐标为(x1，y1)，

则AC的中点坐标为(eq\f(x1＋4,2)，eq\f(y1＋3,2))，

所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋7y1＋5＝0，,2（x1＋4）＋\f(13,2)（y1＋3）－10＝0，))

解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－12，,y