2025届高考数学二轮专题复习与测试专题1数列的基本运算.docVIP

板块二数列

微专题1数列的基本运算

小题考法1等差、等比数列基本量的运算

[核心提炼]

1．通项公式

等差数列：an＝a1＋(n－1)d；

等比数列：an＝a1qn－1(q≠0).

2．求和公式

等差数列：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d；

等比数列：当q＝1时，Sn＝na1；

当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).

(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝5，a1＋S11＝67，则a5a11是数列{an}中的(C)

A．第45项 B．第50项

C．第55项 D．第60项

【解析】因为{an}是等差数列，则a1＋S11＝a1＋11a6＝12a1＋55d＝67，又a5＝a1＋4d＝5，联立可解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝1，))所以an＝n，a5a11＝5×11＝55＝a55，所以a5a11是数列{an}中的第55项．故选C.

(2)(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(B)

A．eq\f(7,2) B．eq\f(7,3)

C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(7,11)

【解析】由S5＝S10，得eq\f(5（a1＋a5）,2)＝eq\f(10（a1＋a10）,2)，所以5a3＝5(a3＋a8)，所以a8＝0，公差d＝eq\f(a8－a5,8－5)＝－eq\f(1,3)，所以a1＝a5－4d＝1－4×(－eq\f(1,3))＝eq\f(7,3).

数列基本量运算的解题策略

(1)在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个最基本的元素．

(2)在进行等差(比)数列的项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可转化成关于a1和d(q)的方程(组)求解，但要注意使用消元法及整体计算，以减少计算量．

[注意]在等比数列的前n项和公式中，若不确定q是否等于1，应注意分q＝1和q≠1两种情况讨论．

1．设Sn为正项等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且S1－2，S2，S3成等差数列，则数列{an}的通项公式为(A)

A．an＝2n－1 B．an＝3n－1

C．an＝(－1)n－1 D．an＝(eq\f(1,2))n－1

解析：设正项等比数列{an}的公比为q(q0)，当q＝1时，S1－2＝－1，S2＝2，S3＝3，2S2≠S1－2＋S3，与题意不符．

当q≠1时，由题意得2·eq\f(a1（1－q2）,1－q)＝a1－2＋eq\f(a1（1－q3）,1－q)，

即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以an＝a1qn－1＝2n－1.故选A.

2．如图，已知在扇形OAB中，半径OA＝OB＝3，∠AOB＝eq\f(π,3)，圆O1内切于扇形OAB(圆O1和OA，OB，eq\o(AB,\s\up10(︵))均相切)，作圆O2与圆O1，OA，OB相切，再作圆O3与圆O2，OA，OB相切，以此类推．设圆O1，圆O2，…的面积依次为S1，S2，…，那么S1＋S2＋…＋Sn＝_________.

解析：如图，设圆O1与eq\o(AB,\s\up10(︵))相切于点D，

圆O1，圆O2与OA分别切于点C，E，则O1C⊥OA，O2E⊥OA.

设圆O1，圆O2，圆O3，…，圆On的半径分别为r1，r2，r3，…，rn.

因为∠AOB＝eq\f(π,3)，所以∠AOD＝eq\f(π,6).

在Rt△OO1C中，OO1＝3－r1，

则O1C＝eq\f(1,2)OO1，即r1＝eq\f(3－r1,2)，解得r1＝1.

在Rt△OO2E中，OO2＝3－r2－2r1，则O2E＝eq\f(1,2)OO2，

即r2＝eq\f(3－r2－2r1,2)，解得r2＝eq\f(1,3).

同理可得，当n≥2时，rn＝eq\f(3－rn－2（r1＋r2＋…＋rn－1）,2)，

即3rn＝3－2(r1＋r2＋…＋rn－1)，①

则3rn＋1＝3－2(r1＋r2＋…＋rn)，②

②－①得，3rn＋1－3rn＝－2rn，

即rn＋1＝eq\f(1,3)rn(n≥2).

当n＝1时，r2＝eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)r1也适合上式，

所以rn＋1＝eq\f(1,3)rn(n∈N*)，

所以数列{rn}是以1为首项，eq\f(1,3)为公比的等比数列．

又圆的面积为S＝π