2025届高考数学二轮专题复习与测试专题1概率与统计中的简单计算.docVIP

板块四概率与统计

微专题1概率与统计中的简单计算

小题考法1统计图表与数字特征

[核心提炼]

1．频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示eq\f(频率,组距)，频率＝组距×eq\f(频率,组距).

2．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数

(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即为众数．

(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等．

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．

3．方差与标准差

方差：

s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up10(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up10(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up10(－)))2]．

标准差：s＝

eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up10(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up10(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up10(－))）2])．

4．一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．

(1)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(BD)

A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数

B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数

C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差

D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差

【解析】取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为eq\f(\r(66),3)，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．综上，选BD.

(2)(多选)(2024·茂名一模)某校举行与中秋节相关的“中国传统文化”知识竞赛，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是(AC)

A．样本的众数为75

B．样本的71%分位数为75

C．样本的平均数为68.5

D．该校学生中得分低于60分的约占20%

【解析】依题意，(0.015＋0.025＋0.035＋0.005＋2a)×10＝1，解得a＝0.010，

选项A，因为最高小矩形底边中点的横坐标为75，所以众数为75，故A正确；

选项B，设样本的71%分位数为x，又10×(0.010＋0.015＋0.025)＝0.5，0.5＋0.035×10＝0.85，所以0.5＋(x－70)×0.035＝0.71，解得x＝76，故B错误；

选项C，平均数为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5，故C正确；

选项D，样本中得分低于60分的占(0.010＋0.015)×10×100%＝25%，所以该校学生中得分低于60分的约占25%，故D错误．

(1)数字特征的意义

平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有重要的实际意义．平均数、中位数、众数、百分位数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小．

(2)分层随机抽样的均值、方差公式

若总体划分为两层，第一层m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为eq\o(x,\s\up10(－))，方差为seq\o\al(2,1)；第二层n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为eq\o(y,\s\up10(－))，方差为seq\o\al(2,2).记总体样本平均数为a，样本方差为s2，则

①a＝eq\f(1,m＋n)(meq\o(x,\s\up10(－))＋neq\o(y,\s\up10(－)))＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up10(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up10(－))；

②s2＝eq\f(1,m＋n){m[seq\o\al(2,1)＋(eq\o(x,\s\up10(－))－a)2]＋n[seq\o\al(2,2)＋(eq\o(y,