高等数学1-2数列的极限教材课程.pptxVIP

高等数学1-2数列的极限本课程将深入探讨数列极限的概念和计算方法，并介绍相关性质和定理。学习本课程将有助于您理解微积分中的重要概念，并为后续课程打下坚实的基础。作者：

数列定义与分类定义数列是由一个通项公式定义的，它将自然数集合与实数集合之间建立起一一对应关系。分类数列可以分为有限数列和无限数列，根据项的排列方式，可以分为等差数列、等比数列、递推数列等。

数列收敛与发散的概念收敛数列当数列的项随着序号的增加无限接近某个确定的值时，称此数列收敛。发散数列当数列的项随着序号的增加无限增大或减小，没有趋向于任何有限值时，称此数列发散。振荡数列当数列的项随着序号的增加没有趋向于任何确定值，而是在某个有限范围内不断振荡时，称此数列振荡。

数列极限的定义11.极限值当n趋于无穷大时，数列中的项无限接近于某个确定的实数，这个实数称为数列的极限。22.极限符号用符号lim表示数列的极限，例如lim(an)=A表示数列{an}的极限为A。33.严格定义对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当nN时，|an-A|ε都成立。44.存在性并非所有数列都存在极限，如果数列的项无限接近于某个确定的实数，则该数列存在极限。

极限存在的充要条件柯西收敛准则数列收敛的充要条件是它满足柯西收敛准则，即数列任意两个元素的差的绝对值，当n足够大时，可以任意小。单调有界准则单调有界数列一定收敛，这是判断数列极限存在性的重要方法。振荡如果数列不满足柯西收敛准则，则该数列发散。例如，一个振荡的数列不会收敛。

极限的基本性质唯一性如果数列极限存在，则该极限值是唯一的。有界性收敛数列一定是无穷小的，因此有界。保号性如果数列从某项起都大于（小于）某个常数，那么该数列的极限也大于（小于）该常数。加法和乘法两个收敛数列的和与积也是收敛的，且极限分别等于两个数列极限的和与积。

极限运算法则1加法法则lim(an+bn)=liman+limbn2减法法则lim(an-bn)=liman-limbn3乘法法则lim(an*bn)=liman*limbn4除法法则lim(an/bn)=liman/limbn,(limbn≠0)这些法则简化了数列极限的计算，使我们能够通过已知极限来推导出新的极限，并简化复杂表达式的计算。

无穷小量的概念1定义当自变量趋向于某个极限值时，函数的值无限趋近于零，则称该函数为无穷小量。2性质无穷小量的和、差、积、商（分母不为零）仍为无穷小量。3与极限的关系无穷小量是极限为零的函数，极限为零的函数是无穷小量。

无穷小量的性质唯一性如果一个数列趋于零，那么它只有一个极限，即零。有界性无穷小量是有界的，这意味着它们的值不会无限增长或减小。换句话说，它们的值始终保持在某个有限范围内。加法性两个无穷小量的和仍然是无穷小量。乘法性一个无穷小量与一个有界数的乘积仍然是无穷小量。

无穷小量的运算无穷小量可以进行加减乘除运算，但需要注意的是，无穷小量之和仍然是无穷小量，无穷小量与有界量的乘积也是无穷小量。当两个无穷小量相除时，其结果可能为有限值，也可能为无穷小量，需要具体情况具体分析。1加法无穷小量之和仍然是无穷小量。2减法无穷小量之差仍然是无穷小量。3乘法无穷小量与有界量的乘积也是无穷小量。4除法两个无穷小量相除的结果可能为有限值，也可能为无穷小量。

极限存在的判别法ε-N定义ε-N定义是判断数列极限存在的标准方法，用于证明极限的存在性。单调有界准则单调有界准则指出，单调递增且有上界的数列，或者单调递减且有下界的数列，一定收敛。夹逼定理夹逼定理用于判断被两个收敛于相同极限的数列夹住的数列的极限。

数列极限存在的Cauchy判别法定义Cauchy判别法是判断数列极限存在的必要条件，通过分析数列项之间的距离来判断是否收敛。原理如果数列收敛，那么随着项数的增加，数列项之间的距离会越来越小，最终趋于零。应用Cauchy判别法可以用来证明一些常见的数列极限，例如级数的收敛性。

常见数列极限的计算本节将介绍常见的数列极限计算方法，例如利用极限的性质、重要极限、夹逼定理等。同时，我们还会讲解一些常见的数列极限的计算技巧，例如利用等价无穷小、洛必达法则等。数列类型极限计算方法示例等比数列利用公式lim(n-∞)(1/2)^n=0等差数列利用公式lim(n-∞)(n+1)/n=1

单调有界数列的极限性质单调性数列的项按一定规律增大或减小，意味着它具有单调性。有界性数列的项始终处于某个范围之内，即存在上界和下界。极限存在单调有界数列一定存在极限，并且极限值有限。

夹逼定理与应用夹逼定理夹逼定理是一个重要的极限计算工具，它可以用来计算一些难以直接求解的极限。夹逼定理的关键是找到两个已知极限的数列，它们分别从两侧