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好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》
组合数学题目及标准答案
老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。——唐·王勃
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学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。——黄睎
组合数学
例1:将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，假如它们两两均不可以互吃，那么称8个“车”
处于一个安全状态。问共有多少种不一样的安全状态?
解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不一样的8行和8列上。
用一个摆列a1,a2,,a8，对应于一个安全状态，使ai表示第i行的ai列上搁置一
个“车”。这类对应明显是一对一的。所以，安全状态的总数等于这8个数的全摆列总数8!
＝40320。
例4：n位客人在晚会上每人与别人握手d次，d是奇数。证明n偶数。
证：因为每一次握手均使握手的两人各增添一次与别人握手的次数，所以n位客人与别人
握手次数的总和nd是偶数—握手次数的2倍。依据奇偶性质，已知d是奇数，那么n必然是偶
数。
例４从1到2n的正整数中任取n+1个，则这n+1个数中，起码有一对数，此中一个是另
一个的倍数。
证设n+1个数是a1,a2,·,an+1。每个数去掉全部2的因子，直至剩下一个奇数为止。组
成序列r1,r2,,·,rn+1。这n+1个数仍在[1,2n]中，且都是奇数。而[1,2n]中只有n个奇数，
故必有ri=rj=r,则ai=2αir,aj=2αjr。若ai＞aj，则ai是aj的倍数。
例5设a1,a2,··,am是正整数，则起码存在一对k和l,0≤kl≤m，使得和ak+1+
ak+2+··+al是m的倍数。
h
证设Sh=ai,Sh≡rhmodm,0≤rh≤m-1，
i1
h=1,2,·,m·.若存在l,Sl≡0modm则命题建立．不然，1≤rh≤m-1．但h=1,
2,··,m．·由鸽巢原理，故存在rk=rl,
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