2025年新课标理科数学高频考点与真题解析第九章微专题(带答案解析).docxVIP

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微专题应用创新

微专题一设而不求巧消参,破解圆锥曲线定值(定点)问题

1.(2024山西忻州二模,20)已知点A(-2,0),B(2,0),动点S(x,y)满足直线AS与BS的斜率之积为-34

(1)求曲线C的方程,并说明曲线C是什么曲线;

(2)设M,N是曲线C上的两个动点,直线AM与NB交于点P,且∠MAN=90°.

①求证:点P在定直线上;

②求证:直线NB与直线MB的斜率之积为定值.

解析(1)由题意,得yx

化简,得x2

(2)证明:①由题设知,直线MA,NB的斜率存在且均不为0.设直线AM的方程为x=ty-2(t≠0),

由AM⊥AN,可知直线NA的方程为x=-1ty-2.由x

解得yN=-12t

②由已知得,kNA·kNB=-34

所以kNA·kNB·kMA·kMB=-3

结合kNA·kMA=-1,得kMB·kNB=-916

2.(2019课标Ⅲ,21,12分)已知曲线C:y=x2

(1)证明:直线AB过定点;

(2)若以E0,

解析(1)证明:设Dt,-12

由于y=x,所以切线DA的斜率为x1,故y1+1

整理得2tx1-2y1+1=0.

设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.

故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.

所以直线AB过定点0,

(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+12

由y=tx+

于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,

|AB|=1+t2|x

设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1=t2

因此,四边形ADBE的面积S=12

设M为线段AB的中点,则Mt,

由于EM⊥

所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.

当t=0时,S=3;当t=±1时,S=42.

因此,四边形ADBE的面积为3或42.

3.(2024湘豫名校3月联考,20)已知点P是抛物线C:x2=4(y+3)的顶点,过点(0,-1)的直线l交C于A,B两点,点M是△PAB的外接圆的圆心.

(1)试问:直线l与点M的轨迹是否有交点?若有,请求出交点坐标;若没有,请说明理由.

(2)若在点M的轨迹上存在不关于y轴对称的两点G、H,使直线PG与直线PH关于y轴对称,求证:直线GH必过定点.

解析设A(x1,y1),B(x2,y2),

(1)设直线AB的方程为y=kx-1.

由y=14

所以Δ=16k2+320,x1+x2=4k,x1x2=-8.

若直线l与点M的轨迹有交点,则PA⊥PB.

易知P(0,-3),由PA·PB=0,得x1x2+y1y2+3(y1+y

因为y1+y2=4k2-2,y1y2=-12k2+1,代入上式不成立,

所以直线l与点M的轨迹没有交点.

(2)证明:因为点M是△PAB的外接圆的圆心,

所以点M是△PAB三条边的中垂线的交点.

设线段PA的中点为F,线段PB的中点为E.

因为P(0,-3),

所以Fx1

所以线段PA的中垂线的方程为y-y1

因为A在抛物线C上,所以y1+3=14

所以PA的中垂线的方程为y-x1

即y=-4x

同理可得线段PB的中垂线的方程为y=-4x

联立得y

由(1)可得x1+x2=4k,x1x2=-8.

所以xM=--8×4

所以点M的轨迹方程为x2=12

设H(x3,2x3

则x3+x4≠0.

所以kHG=2x

由kPH+kPG=0,即(x

又直线HG的方程为y-2x32=2(x3+x4)(x-x

整理,得y=2(x3+x4)x-2x3x4,即y=2(x3+x4)x+3.

所以直线HG必过定点(0,3).

4.(2024河南天一第五次联考,20)在直角坐标系xOy中,椭圆C:x24+y

(1)若m0,且N在x轴下方,求tan∠OPN的最大值;

(2)设A,B为椭圆的左、右顶点,证明:直线AN,BM的交点D恒在一条定直线上.

解析设M(x1,y1),N(x2,y2).

(1)记l的倾斜角为α,OP的倾斜角为β,则∠OPN=α-β.

由x=my+1,x

则y1+y2=-2m

所以x1+x2=m(y1+y2)+2=8m

于是P4m

所以tan∠OPN=tan(α-β)=kl

当且仅当-1m

所以tan∠OPN的最大值为-43

(2)证明:易知A(-2,0),B(2,0).

由题意知kAN=y2

所以直线AN的方程为y=y2

直线BM的方程为y=y1

令y1

得x=2

=4

=4m

所以点D恒在定直线x=4上.

5.(2024贵州3月适应性测试,20)如图,椭圆C:x2

(1)求C的方程;

(2)过F的直线l交椭圆于M,N两点,坐标平面上是否存在定点Q,使得QM·

解析(1)由题可得a2+b2=3①,

因为AB∥O