海南省创新中学协作校2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题（含答案解析）.docx

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海南省创新中学协作校2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数，则（????）

A． B． C． D．

2．已知集合，则中元素的个数为（????）

A．9 B．8 C．5 D．4

3．等差数列满足，，则（???）

A．6 B．10 C．12 D．24

4．某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（????）

A．成绩在上的人数最多

B．成绩不低于70分的学生所占比例为

C．50名学生成绩的平均分小于中位数

D．50名学生成绩的极差为50

5．已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

6．已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（????）

A． B． C． D．

7．已知正三棱台的侧面积为6，，，则与平面ABC所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

8．已知函数满足，则下列结论中正确的是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知函数，，则下列结论正确的是（????）

A．与的图象有相同的对称轴

B．与的值域相同

C．与有相同的零点

D．与的最小正周期相同

10．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.人口的年平均增长率满足，其中为经过的时间，为时的人口总数（单位：万），为经过年后的人口总数（单位：万）.下表为三市2022年人口总数及预计年平均增长率情况：

2022年人口总数

年平均增长率

A市

0.02～0.03

B市

0.04～0.05

C市

0.03

利用上表数据，设A、B、C三市在2032年底人口总数的估计值分别为，，，则（????）

A． B．

C． D．

11．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（????）

A．曲线的方程是

B．曲线关于坐标轴对称

C．曲线与轴没有交点

D．的面积不大于

三、填空题

12．已知向量，满足，且，则．

13．已知，，则.

14．将1，2，3，4这四个数字填入下方方格表中，要求每行和每列均有数字1，2，3，4．当，时，共有种方法补全方格表；当不固定，，的值时，共有补全方格表．

1

2

3

4

四、解答题

15．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，．

（1）求角A；

（2）若，的面积为，求的周长．

16．定义在上的函数同时满足以下条件：

①在上是减函数，在上是增函数；

②是偶函数；

③在处的切线与直线垂直.

(1)求函数的解析式；

(2)设，求函数在上的最小值.

17．如图，在四棱锥中，，，，，平面⊥平面.

(1)证明：⊥平面；

(2)若，四棱锥的体积为2，求二面角的正弦值.

18．已知椭圆：的短轴长为，且过三点，，中的两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，（，不在轴上）两点，为椭圆的左顶点，记，的斜率分别为，，证明：为定值.

19．马尔科夫链因俄国数学家安德烈?马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.

(1)求的值；

(2)求的值（用表示）；

(3)求证：的数学期望为定值.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

C

D

B

C

A

A

AD

BCD

题号

11

答案

ABD

1．D

【分析】根据复数乘法运算和共轭复数概念可得.

【详解】因为，所以.

故选：D

2．B

【分析】利用列举法表示出集合A，再求出并集即可得