高中数学同步精品讲义：实数指数幂及其运算.docxVIP

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实数指数幂及其运算

TOC\o1-3\h\z\u题型1根式的概念 3

题型2根式与分数指数幂的互化 6

◆类型1分数指数幂转化成根式 7

◆类型2根式转化成分数指数幂 8

◆类型3根式与分数指数幂互化问题 10

题型3化简运算 12

◆类型1常规根式化简 12

◆类型3根式有意义的条件 19

题型4条件求值问题 22

◆类型1基础型 22

◆类型2已知an=m型 25

◆类型3已知x+1x=m型 26

题型5多重根式的化简 29

题型6比较大小 31

题型7解答题汇总 32

知识点一.有理指数幂

1.一般地，an中的a称为底数，n

2.一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn=a，则x称为a的n次方根.

注意：①0的任意正整数次方根均为0，记为n0

②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为na

负的方根记为-na；负数的偶数次方根在实数范围内不存在.

③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为na

奇数次方根是一个负数.

3.当na有意义的时候，n

注意：根式具有以下性质∶①(na)n＝a.②nan＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a?n为奇数，且n＞1?，,|a|?n为偶数，且n＞1?))

一般地，如果n是正整数，那么∶

=1\*GB3①当na有意义时，规定a1n=na；=2\*GB3②当na没有意义时，称a

对于一般的正分数mn，也可作类似规定，即amn=n

5.分数指数幂的意义

=1\*GB3①amn＝nam，a?mn＝1amn＝1nam(其中

=2\*GB3②0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

重点理解：

（1）分数指数幂的理解

=1\*GB3①分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂amn不可理解为mn个a相乘，它是根式的一种新的写法．

在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．

=2\*GB3②把根式nam化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn进行约分．

（2）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(?5)23＝3(?5)2有意义，但

注意：这个式子在mn

6.负分数指数幂

若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a-s=1

7.有理指数幂的运算法则∶

=1\*GB3①aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)．=2\*GB3②(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)．=3\*GB3③(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．

知识点二.实数指数幂

一般地，当a0且t是无理数时，at都是一个确定的实数.因此，当a0，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义.

1.无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

2.实数指数幂的运算性质

=1\*GB3①aras＝ar＋s(a0，r，s∈R)．

=2\*GB3②(ar)s＝ars(a0，r，s∈R)．

=3\*GB3③(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈R)．

重点区分：nan与(na

（1）nan是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n

其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，nan＝a；当n为偶数时，nan＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a

(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a

题型1根式的概念

【例题1-1】（多选）（2022·高一课时练习）(多选)下列说法中错误的是（????）

A．根式都可以用分数指数幂来表示

B．分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法

C．无理数指数幂有的不是实数

D．有理数指数幂的运算性质不适用于无理数指数幂

【答案】CD

【分析】A.由nam=

【详解】A.由na

B.由na

C.实数包括无理数和有理数，所以无理指数幂是实数，故错误；

D.由指数幂的运算法则知：有理数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂，故错误；

故选：CD

【变式1-1】1.（2023·江苏·高一假期作业）16的平方根为，?27的5次方根为；已知x7=6，则x=

【答案】