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线性代数第四章答案--第1页
线性代数第四章答案
第四章向量组的线性相关性
1设v1(110)Tv2(011)Tv3(340)T求v1v2及3v12v2v3解
v1v2(110)T(011)T
(101101)T
(101)T
3v12v2v33(110)T2(011)T(340)T
(312033121430210)T
(012)T
2设3(a1a)2(a2a)5(a3a)求a其中a1(2513)T
a2(101510)Ta3(4111)T
解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得
(1234)T
3已知向量组
Aa1(0123)Ta2(3012)Ta3(2301)T
Bb1(2112)Tb2(0211)Tb3(4413)T
证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示
证明由
知R(A)R(AB)3所以B组能由A组线性表示
由
知R(B)2因为R(B)R(BA)所以A组不能由B组线性表示
4已知向量组
Aa1(011)Ta2(110)T
Bb1(101)Tb2(121)Tb3(321)T
证明A组与B组等价
证明由
知R(B)R(BA)2显然在A中有二阶非零子式故R(A)2又R(A)R(B
A)2所以R(A)2从而R(A)R(B)R(AB)因此A组与B组等价
5已知R(a1a2a3)2R(a2a3a4)3证明
线性代数第四章答案--第1页
线性代数第四章答案--第2页
(1)a1能由a2a3线性表示
(2)a4不能由a1a2a3线性表示
证明(1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又
由R(a1a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示
(2)假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示
故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由
a1a2a3线性表示
6判定下列向量组是线性相关还是线性无关
(1)(131)T(210)T(141)T
(2)(230)T(140)T(002)T
解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为
所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关
(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为
所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关
7问a取什么值时下列向量组线性相关？
a1(a11)Ta2(1a1)Ta3(11a)T
解以所给向量为列向量的矩阵记为A
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