高中数学同步精品讲义：用二分法求方程的近似解.docxVIP

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用二分法求方程的近似解

TOC\o1-3\h\z\u题型1二分法概念的理解 2

题型2用二分法确定零点所在区间 6

题型3用二分法求方程的近似解 9

题型4二分法次数问题 12

题型5用二分法求零点 15

知识点一.二分法的定义

定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．

知识点二.运用二分法求函数的零点应具备的条件

1.函数图象在零点附近连续不断.

2.在该零点左右两侧函数值异号.

只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.

知识点三.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤

1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0.

2．求区间(a，b)的中点c.

3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)·f(c)0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；

(3)若f(c)·f(b)0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.

4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．

以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．

知识点四.精确度

“精确度”与“精确到”不是一回事，|a-b|ε;这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε,即“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算1-23

精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。

知识点五.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则

1.需依据图象估计零点所在的初始区间[m,n](一般采用估计值的方法完成).

2.取区间端点的平均数c,计算fc),确定有解区间是[m,c]还是[c,n],逐步缩小区间的“长度”,直到区间的两个端点符合要求，终止计算，得到函数零点的近似值.

知识点六.用二分法求方程的近似解

用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精度，及时检验所得区间是否达到要求(达到给定的精度),以决定是停止计算还是继续计算.

题型1二分法概念的理解

【方法总结】

运用二分法求函数的零点应具备的条件

(1)函数图象在零点附近连续不断．

(2)在该零点左右函数值异号．

只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．

【例题1】（2017·高一课时练习）下列关于二分法的叙述中，正确的是（????）

A．用二分法可求所有函数零点的近似值

B．用二分法可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位

C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成

D．只能用二分法求函数的零点

【答案】B

【分析】根据二分法的概念进行判断ABC选项，D选项，求零点的方法有多种.

【详解】A选项，由二分法求函数零点近似值需要函数图象在零点附近连续且区间端点函数值异号，A错误；

B选项，二分法，反复求区间中点，确定函数值符号，故可求函数零点的近似值，

可精确到小数点后任一位，B正确；

C选项，二分法是一种程序化的运算过程，反复求区间中点，确定函数值符号，

因而可以通过编程，在计算机上完成，C错误；

D选项，求零点的方法有解方程法、作图法等，D错误．

故选：B．

【变式1-1】1.（2023上·全国·高一专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（????）

A．?? B．??

C．?? D．??

【答案】C

【分析】根据二分法求解函数零点的要求判断四个选项即可.

【详解】由二分法的定义，可知只有当函数fx在区间a,b上的图象连续不断，且f

即函数的零点是变号零点时，才能将区间a,b一分为二，逐步得到零点的近似值．

对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合，

因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．

故选：C.

【变式1-1】2.（2021·高一课前预习）用二分法求如图所示的函数fx

A．x1 B．

C．x3 D．

【答案】C

【分析】根据二分法的知识确定正确选项.

【详解】由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间(a，b)，

使得x1，x2，x4∈(a，b)，f