协方差及相关系数.pptVIP

概率论概率论*第三节协方差及相关系数协方差相关系数一、协方差(covariance)量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X和Y的协方差,记为cov(X,Y),即:(4)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)(1)cov(X,Y)=cov(Y,X)2.简单性质:(2)cov(aX,bY)=abcov(X,Y),a,b是常数cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定义:(3)cov(C,X)=0,C是常数3.计算协方差的一个简单公式cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可见,若X与Y独立,则cov(X,Y)=0.cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即:特别地:4.随机变量和的方差与协方差的关系D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)二、相关系数(correlation)为随机变量X和Y的相关系数.1.定义:设D(X)0,D(Y)0,称:在不致引起混淆时,记ρXY为ρ.协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系,但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：cov(kX,kY)=k2cov(X,Y)为了克服这一缺点,对协方差进行标准化,这就引入了相关系数.易知:E(X*)=0,D(X*)=1;E(Y*)=0,D(Y*)=1;（标准协方差）X和Y独立时,ρ=0（此时称X和Y不相关）,但其逆不真.证：由于当X和Y独立时,cov(X,Y)=0.但由ρ=0并不一定能推出X和Y独立.若X与Y独立,则X与Y不相关.但X与Y不相关,不一定能推出X与Y独立.2.相关系数的性质：事实上,X的密度函数:1反例:设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=cosX,2不难求得:cov(X,Y)=0，3因而ρ=0,4即X和Y不相关.5但Y与X有严格的函数关系，6即X和Y不独立.701存在常数a,b(b≠0),02使P{Y=aX+b}=1,03即:X和Y以概率1线性相关.04相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.05若ρ=0,Y与X无线性关系;06可见,若ρ=±1,Y与X有严格线性关系;07若0|ρ|1,08|ρ|的值越接近于1,Y与X的线性相关程度越高;09|ρ|的值越接近于0,Y与X的线性相关程度越弱.10（称X和Y完全相关）（称X和Y不相关）010304020506定义:设X和Y是随机变量,称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩;称它为X的k阶中心矩.可见,均值E(X)是X的一阶原点矩,方差D(X)是X的二阶中心矩。(k-thrawmoment)(k-thcentralmoment)三、原点矩中心矩010203040506可见,协方差cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.称它为X和Y的k+l阶混合(原点)矩.称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.定义:设X和Y是随机变量,((k+l)-thmixedrawmoment)((k+l)-thmixedcentralmoment)四、协方差矩阵将二维随机变量(X1,X2)的四个二阶中心矩:排成矩阵的形式:称此矩阵为(X1,X2)的协方差矩阵(covariancematrix).这是一个对称矩阵概率论概率论*