2025届高考数学第一轮专项复习—平面向量中的范围与最值问题.pdf

2025届高考数学第一轮专项复习—平面向量中的范围与最值

问题

目录

01方法技巧与总结2

02题型归纳与总结5

题型一：利用三角向量不等式5

题型二：定义法8

题型三：基底法10

题型四：几何意义法14

题型五：坐标法19

题型六：极化恒等式23

题型七：矩形大法28

题型八：等和线、等差线、等商线31

题型九：平行四边形大法37

题型十：向量对角线定理43

03过关测试44

1/65

技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：

（1）定义法

第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步：得出结论

（2）坐标法

第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步：将平面向量的运算坐标化

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

（3）基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

（4）几何意义法

第一步：先确定向量所表达的点的轨迹

第二步：根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

技巧二．极化恒等式

（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：



2222

|ab||ab|2(|a||b|)



证明：不妨设ABa,ADb，则ACab，DBab

2

2222

ACACaba2abb①



2

2222

DBDBaba2abb②



①②两式相加得：

2/65



222222

ACDB2ab2ABAD



（2）极化恒等式：

上面两式相减，得：122————极化恒等式

abab



4

①平行四边形模式：122

ab4ACDB

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方

1

差的．

4

212

②三角形模式：abAMDB（M为BD的中点）

4

A