高中数学同步学案 函数的极值与导数.docVIP

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1．3.2函数的极值与导数

预习课本P26～29,思考并完成下列问题

(1)函数极值点、极值的定义是什么？

(2)函数取得极值的必要条件是什么？

(3)求可导函数极值的步骤有哪些？

eq\a\vs4\al([新知初探])

1．函数极值的概念

(1)函数的极大值

一般地,设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)＜f(x0),就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值,记作y极大值＝f(x0),x0是极大值点．

(2)函数的极小值

一般地,设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)＞f(x0),就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值,记作y极小值＝f(x0),x0是极小值点．极大值与极小值统称为极值．

[点睛]如何理解函数极值的概念

(1)极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值,与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值,但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．

(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．

(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．

(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点．

(5)单调函数一定没有极值．

2．求函数y＝f(x)极值的方法

一般地,求函数y＝f(x)的极值的方法是：

解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0,右侧f′(x)＜0,那么f(x0)是极大值；

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0,右侧f′(x)＞0,那么f(x0)是极小值．

[点睛]一般来说,“f′(x0)＝0”是“函数y＝f(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数y＝f(x)在点x0处可导,且在点x0处取得极值,那么f′(x0)＝0；反之,若f′(x0)＝0,则点x0不一定是函数y＝f(x)的极值点．

eq\a\vs4\al([小试身手])

1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．()

(2)在可导函数的极值点处,切线与x轴平行或重合．()

(3)函数f(x)＝eq\f(1,x)有极值．()

答案：(1)√(2)√(3)×

2．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x,其中在x＝0处取得极小值的是()

A．①②B．②③C．③④D．①③

答案：B

3．已知函数y＝|x2－1|,则()

A．y无极小值,且无极大值

B．y有极小值－1,但无极大值

C．y有极小值0,极大值1

D．y有极小值0,极大值－1

答案：C

4.函数f(x)＝x＋2cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的极大值点为()

A．0 B.eq\f(π,6)

C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)

答案：B

运用导数解决函数的极值问题

题点一：知图判断函数的极值

1．已知函数y＝f(x),其导函数y＝f′(x)的图象如图所示,则y＝f(x)()

A．在(－∞,0)上为减函数 B．在x＝0处取极小值

C．在(4,＋∞)上为减函数 D．在x＝2处取极大值

解析：选C由导函数的图象可知：x∈(－∞,0)∪(2,4)时,f′(x)0,x∈(0,2)∪(4,＋∞)时,f′(x)0,因此f(x)在(－∞,0),(2,4)上为增函数,在(0,2),(4,＋∞)上为减函数,所以x＝0取得极大值,x＝2取得极小值,x＝4取得极大值,因此选C.

题点二：已知函数求极值

2．求函数f(x)＝x2e－x的极值．

解：函数的定义域为R,

f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′

＝2xe－x－x2·e－x

＝x(2－x)e－x.

令f′(x)＝0,得x(2－x)·e－x＝0,

解得x＝0或x＝2.

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表：

x

(－∞,0)

0

(0,2)

2

(2,＋∞)

f′(x)

－

0

＋

0

－

f(x)



极小值0



极大值4e－2



因此当x＝0时,f(x)有极小值,

并且极小值为f(0)＝0；

当x＝2时,f(x)有极大值,并且极大值为f(2)＝4e－2＝eq\f(4,e2).

题点三已知函数的极值求参数

3．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a),若f(x)在x＝a处取到极大值,则a的取值范围是()

A．(－∞,－1) B．(0,＋∞)

C．(0,1) D．(－1,0)

解析：选D若a－1