偏微分方程的解法.pptVIP

5.2一阶微分方程主要内容:

1.可分离变量的微分方程

2.齐次型微分方程

3.一阶线性微分方程1

一、可分离变量的微分方程1.定义其中f(x),g(y)分别是x,y的连续函数．2.分离变量法把方程中的两个变量分离开来，使方程的一边只含有y的函数及dy，另一边只含有x的函数及dx，然后两边积分，从而求出微分方程的解．这种方法称为分离变量法．形如（1）的一阶微分方程，叫做可分离变量的微分方程.2

3．步骤(1)分离变量，得(2)两边积分，得(3)求得积分，得3

解分离变量，得两边积分，得得即得方程的通解为例14

例２解分离变量，得两边积分，得化简，得于是所求微分方程的特解为原方程可化为5

二、齐次型微分方程1.定义形如的微分方程，称为齐次型微分方程．因为方程可化为6

2．解法在方程(2)中，引进新的未知函数代入方程(2)，便得可分离变量方程即两边积分，得求出积分后，即得所求齐次型微分方程的通解．7

例3解原方程可化为它是齐次型微分方程．代入原方程，得分离变量，得两边积分，得即这就是所求微分方程的通解．8

三、一阶线性微分方程1、定义方程（3）称为一阶线性非齐次微分方程．方程（3）称为一阶线性齐次微分方程方程称为一阶线性微分方程，(3)9

2、一阶线性齐次微分方程的通解先讨论一阶线性齐次微分方程（4）的通解．显然，方程（4）是可分离变量方程．分离变量后，得两边积分，得这就是一阶线性齐次微分方程(4)的通解公式．注意即(5-1)在用上式进行具体运算时，其中的不定积分只表示P(x)一个确定的函数.10

3、一阶线性非齐次微分方程的解法——常数变易法(5)由方程特点，设一阶线性非齐次微分方程的通解为对（5）式求导得(6)将(5)和(6)代入方程(3)并整理得由此可得将上式代入(5)式，得一阶线性非齐次微分方程的通解为(5-2)11

公式中各个不定积分都只表示了对应的被积函数的一个原函数．这种通过把对应的线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解的方法称为常数变易法．公式(5-2)也可写成下面的形式(7)由此可知：一阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程的通解之和．注意:12

例4解1(常数变易法)对应的线性齐次方程为用分离变量法求得它的通解为将上式中的任意常数C换成函数C(x)，即设原方程的通解为（8）则有两边积分，得再代入（8）式，即得所求方程的通解为13

解2(公式法)代入公式（5-2），得14

例5解对应的齐次方程是用分离变量法求得它的通解为用常数变易法，设非齐次方程的通解为两边积分，得因此，非齐次方程的通解为故所求微分方程的特解为15

例6解原方程可化为将x看作y的函数，则它是形如的一阶线性非齐次微分方程．于是由一阶线性非齐次方程的通解公式，得或这就是所求微分方程的通解．16

四、小结：1.可分离变量的微分方程的特点、解法；2.齐次型微分方程的特点、解法；3.一阶线性微分方程的解法,其中一阶线性齐次方程的通解公式,一阶线性非齐次方程的常数变易法和通解公式.作业:习题5．2①（2）（4），3（3）4（1）②5（3）（4）6（2）17