2025年数学建模5-层次分析法.pdfVIP

人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。——刘鹗

数学建模5-（离散模型）层次分析法

层次分析法的基本步骤如下：

层次结构分析模型实例：（选择旅游地）

每次取两个因素C和C，用a表示C和C对上层因素O的影响之比，全部结果

ijijij

可用成对比较矩阵表示：a=1（i=j）

ij

英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机，吞吐天地之志者也。——《三国演义》

由成对比较阵求权向量的特征根法：

（原理）一致阵的概念：a·a=a，I,j,k=1,2,……,n

ijjkik

一致阵的性质：1.R（A）=1，A的唯一非零特征根为n；2.A的任一列向量都是对

应于特征根n的特征向量。

若A不是一致阵在不一致容许的范围内，用对应于A最大特征根（记作λ）的

特征向量（归一化后）作为权向量w，即w满足Aw=λw。

（实现方法）——和法

例子：

一致性检验：

一致性指标：（CI越大A的不一致程度越严重）

随机一致性指标：

士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?——《论语》

一致性比率：当时，认为A的不一致程度在容许范围内。

组合权向量的计算

组合一致性检验：

关于层次分析法的一些问题：

1.不完全层次结构中组合权向量的计算：

例：

人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。——刘鹗

如何得到合理结果？

用支配因素的数量对权向量进行加权修正

2.成对比较阵残缺时的处理：

设Θ表示残缺；

3.本节讨论的内容主要是逐阶层次结构（层次内部因素无相互影响或支配，层

次自上而下，逐层传递的支配关系）

对于更复杂的层次结构，可能存在层次内部因素之间的相互影响，下层反过来对

上层有支配作用，层次之间存在反馈作用等。

附：层次分析法的简单MATLAB实现

clc;

clear;

A=[11.21.51.5;

0.83311.21.2;

0.6670.83311.2;

0.6670.8330.8331];

因素对比矩阵A，只需要改变矩阵%A

[m,n]=size(A);%获取指标个数

RI=[000.580.901.121.241.321.411.451.491.51];

R=rank(A);%求判断矩阵的秩

[V,D]=eig(A);%求判断矩阵的特征值和特征向量，V特征值，D特征向量；

tz=max(D);

B=max(tz);%最大特征值

[row,col]=