2025届高考数学二轮专题复习与测试专题2平面向量与解三角形.docVIP

微专题2平面向量与解三角形

小题考法1平面向量的运算

[核心提炼]

1．共线定理及推论(λ，μ∈R)

(1)已知向量a＝(x1，y1)且a≠0，b＝(x2，y2)，则a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0.

(2)若eq\o(OA,\s\up10(→))＝λeq\o(OB,\s\up10(→))＋μeq\o(OC,\s\up10(→))，则A，B，C三点共线?λ＋μ＝1.

2．数量积的性质

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).

(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).

(3)a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.

命题角度?平面向量的基本运算

(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(D)

A．－2 B．－1

C．1 D．2

【解析】方法一(向量法＋坐标法)：因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b2＝|b|2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D.

方法二(坐标法)：因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4).因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D.

(2)在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且eq\o(BE,\s\up10(→))＝2eq\o(EC,\s\up10(→))，eq\o(CF,\s\up10(→))＝3eq\o(FD,\s\up10(→))，记eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，则eq\o(EF,\s\up10(→))＝(A)

A.－eq\f(3,4)a＋eq\f(1,3)b

B．eq\f(3,4)a＋eq\f(1,3)b

C．eq\f(3,4)a－eq\f(1,3)b

D．－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,3)b

【解析】因为eq\o(BE,\s\up10(→))＝2eq\o(EC,\s\up10(→))，eq\o(CF,\s\up10(→))＝3eq\o(FD,\s\up10(→))，所以eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(CF,\s\up10(→))－eq\o(CE,\s\up10(→))＝eq\f(3,4)eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up10(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up10(→))＝－eq\f(3,4)a＋eq\f(1,3)b.故选A.

求向量数量积的三种方法

(1)定义法：当已知向量的长度或夹角时，可利用此法求解．

(2)坐标法：当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时，可利用此法求解．

(3)若题设涉及投影向量时，也可考虑利用数量积的几何意义求解．

命题角度?向量中的最值、范围问题

(1)设a，b，c为单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为(D)

A．－2

B．eq\r(2)－2

C．－1

D．1－eq\r(2)

【解析】方法一：因为a·b＝0，a，b是单位向量，所以|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(2)，所以(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2＝1－|a＋b|·|c|·cos〈a＋b，c〉＝1－eq\r(2)cos〈a＋b，c〉≥1－eq\r(2)，当且仅当a＋b与c同向时取等号，所以(a－c)·(b－c)的最小值为1－eq\r(2)，故选D.

方法二：不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(cosθ，sinθ)(0≤θ2π)，则(a－c)·(b－c)＝a·b＋c2－c·(a＋b)＝1－(co