高中数学同步精品讲义：构成几何体的基本元素.docxVIP

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构成空间几何体的基本元素

TOC\o1-3\h\u题型1概念与符号的理解 4

◆类型1符号表示 4

◆类型2符号辨析 8

◆类型3位置关系的判断 10

题型2异面直线的概念及辨析 13

题型3垂直关系的辨析 18

题型4距离问题 21

知识点一.空间中的点、线、面

1.构成空间几何体的基本元素有：点、线、面.

2.用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成线、线动成面、面动成体.

3.点、线、面的表示

如图所示的长方体可以表示为长方体ABCD?A

个顶点，可表示为A，B，C，D，A1

AB,BC,CD,DA,AA1,BB1,CC1,DD1,AB1,B

个面可以表示为平面ABCD，平面ABB1A1，平面BCC1B1，平面

知识点二.空间中点与直线、直线与直线的位置关系

1.空间中直线与直线的位置关系：

位置关系

特点

相交

同一平面内，有且只有一个公共点

平行

同一平面内，没有公共点

异面直线

不同在任何一个平面内，没有公共点

2.异面直线：

(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．

(2)异面直线的画法：

①②

3.点、线位置关系的符号表示

（1）点A是直线l上的点，可简写为A∈l，点B不是直线l上的点，可简写为B?l

（2）点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”．

（3）直线m与直线l相交于点A，可简写为m∩l=A.

（4）如果a，b是空间中的两条直线，则必有a∩b≠?或a∩b=?.

知识点三.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

1.平面的表示方法：习惯上，用小写希腊字母α，β，γ…表示平面.

2.点与平面的位置关系

位置关系

图形表示

符号表示

点在平面内

A∈α

点在平面外

B?α

3.直线与平面的位置关系

位置关系

直线a在平面α内

直线a在平面α外

直线a与平面α相交

直线a与平面α平行

公共点

无数个公共点

一个公共点

没有公共点

符号表示

a?α

a∩α＝A

a∥α

图形表示

4.两个平面的位置关系

位置关系

两平面平行

两平面相交

公共点

没有公共点

有无数个公共点(在一条直线上)

符号表示

α∥β

α∩β＝l

图形表示

知识点四.直线与平面垂直

1.定义：

如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直，记作l⊥α.

2.图示

3.点到平面的距离

给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线，如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影（也称为投影），线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离.

4.线面、面面之间的距离

直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；

当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.

题型1概念与符号的理解

◆类型1符号表示

【例题1-1】（2020·高一课时练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系.

（1）点P与直线AB；

（2）C与直线AB；

（3）M与平面AC；

（4）点A1与平面AC

（5）直线AB与直线BC；

（6）直线AB与平面AC；

（7）平面A1B与平面

【答案】（1）P∈AB

（2）C?AB

（3）M∈平面AC

（4）A1?平面

（5）AB∩BC=

（6）AB?平面AC

（7）平面A1B∩平面AC

【解析】先判断位置关系,再根据符号语言表示即可

【详解】由图,

（1）点P在直线AB上,所以P∈AB

（2）点C不在直线AB上,所以C?AB

（3）点M在平面AC上,所以M∈平面AC

（4）点A1不在平面AC上,所以A1?

（5）直线AB与直线BC交于点B,所以AB∩BC

（6）直线AB在平面AC上,所以AB?平面AC

（7）平面A1B与平面AC交于直线AB,所以平面A1B∩

【点睛】本题考查空间中点、线、面的位置关系,考查用符号语言表示空间中的位置关系

【变式1-1】1．（2020·高一课时练习）如图中的长方体，

（1）直线AB可简记为l，此时，A，B都是l上的点，且A1，B1都不是

（2）如果记图中顶点B，B1确定的直线为m，顶点C，C1确定的直线为k，则有m与l相交（即有公共点），k与

（3）因为m与l相交于点B，所以____________________，一般简写为：_________________.

【答案】????A∈l，B∈l，A1?l，B1?l

【解析】根据点与线，线与线位置关系，分别表示，即可直接得出结果.

【详解】（1）因为A，B都是l上的点，且A1，B1都不是l