高中数学同步精品讲义：函数综合难题（复合函数、零点、高斯函数等）十二大题型汇总.docxVIP

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函数综合难题（复合函数、零点、高斯函数等）十二大题型汇总

技巧一.函数零点的方向有：直接法、零点存在性定理法、图象法.

1.直接法即由fx

2.零点存在性定理法即利用fa

3.图象法即利用图象来判断函数的零点.

技巧二.关于复合函数的零点的判断问题，

先将零点问题转化为方程的解的问题；

解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.

技巧三.复合方程解的个数问题的解题策略为：

1.要能观察出复合的形式，分清内外层；

2.要能根据复合的特点进行分析，将方程问题转化为函数的交点问题；

3.通过数形结合的方式解决问题.

技巧四.求解复合函数零点问题的技巧：

1.数形结合法.分别作出的图象；

2.若已知零点个数求参数的范围，则先分析关于的方程的解的个数，再根据个数与的图象特点，分配每个函数值被几个对应，从而确定每个函数值的取值范围，即方程的根的情况，进而求解参数的范围.

技巧五.利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：

1.二次项系数的符号；

2.判别式；

3.对称轴的位置；

4.区间端点函数值的符号.

5.结合图象得出关于参数的不等式组求解.

技巧六.复合函数y=fg

1.即若外层函数ft与内层函数gx均单调递增，则

2.若外层函数ft与内层函数gx均单调递减，则

3.若外层函数ft单调递增，内层函数gx单调递减，则

4.若外层函数ft单调递减，内层函数gx单调递增，则

注意内层函数和外层函数的定义域的对应.

题型1抽象复合型零点个数问题

◆类型1中档难度

【例题1-1】（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数fx=?

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】先求fx的零点，结合图象判断出函数y=f

【详解】由?x2+2x=0x≥0解得

构造函数gx

gx在?∞,0

g?2=ln2?10，所以

所以对于ln?x+2

令y=ff

得fx?1=0或fx

得fx=1或fx

x≥0时，fx

画出fx

由图可知，函数y=ffx?1

故选：C

??

【点睛】求和函数的零点，可以考虑的方向有：直接法、零点存在性定理法、图象法.直接法即由fx=0求得函数的零点.零点存在性定理法即利用

【变式1-1】1.（2022上·陕西宝鸡·高一校考期末）若函数fx=1+

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】应用换元法，令fx=t，将复合函数ffx拆为

【详解】当x0时，由1+lnx=0，得

当x≤0时，由x2+4x+3=0，得x=?1

fx的零点为?3，?1，1

令fx=t，则ft=0的根分别为t1

结合fx的图象可知，方程fx=t1，f

故选：C

【变式1-1】2.（2023上·全国·高一专题练习）已知定义在0,+∞上的fx是单调函数，且对任意x∈0,+∞恒有

A．14 B．12 C．2

【答案】A

【分析】利用换元法，根据函数的单调性列方程，求得fx的表达式，进而求得f

【详解】根据题意，对任意x∈0,+∞，都有

即ff

因为fx是定义在0,+∞上的单调函数，所以

令t=fx?log2x

由ft=3，得log2

y=log2t+t在0,+

则fx

由fx=log2x+2=0得x=

故选：A

【变式1-1】3.（多选）（2023上·河北石家庄·高一石家庄二中校考阶段练习）已知函数f(x)=x2?kx+1,x≤0

A．当k1，有1个零点 B．当k1时，有3个零点

C．当k0时，有9个零点 D．当k=?4时，有7个零点

【答案】AD

【分析】设f(x)=t，即有f(t)=?1，再按k1和k=?4讨论并作出函数f(x)图象，数形结合即可判断得解.

【详解】由y=0，得f[f(x)]=?1，则函数y=f[f(x)]+1的零点个数即为f[f(x)]=?1解的个数，

设f(x)=t，则f(t)=?1，二次函数y=x2?kx+1，其图象开口向上，过点(0,1)

当k1时，y=x2?kx+1在(?

由f(t)=?1，得log2t=?1，解得t=12，由f(x)=t，得

因此函数y=f[f(x)]+1的零点个数是1，A正确，B错误；

当k=?4时，fx=x

??????

由图象知f(t)=?1有3个根，当t0时，log2t=?1，解得

当t≤0时，t2+4t+1=?1，解得

当t=12时，f(x)=12，若log2x=1

当t=?2+2时，f(x)=?2+2，此时

x2+4x+1=?2+2

当t=?2?2时，f(x)=?2?2，此时

x2+4x+1=?2?2

因此当k=?4时，函数y=f[f(x)]+1的零点个数是7，D正确，C错误.

故选：AD

【点睛】方法点睛：关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问