高中数学同步精品讲义：向量的概念.docxVIP

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向量的概念

TOC\o1-3\h\z\u题型1平面向量的几何表示 3

题型2平面向量概念的辨析 8

题型3相等向量与共线向量 10

知识点一.向量的概念

1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量.

2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．

注意:

（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．

（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．

（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．

知识点二.向量的表示法

1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．

2．向量的表示方法：

（1）字母表示法：如等.

（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.

注意:

（1）用字母表示向量便于向量运算；

（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

知识点三.向量的有关概念

1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).

注意:

（1）向量的模．

（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．

2．零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．

3．单位向量：长度等于1个单位的向量.

注意:

（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；

（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．

4．相等向量：长度相等且方向相同的向量.

注意:在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．

知识点四.向量的共线或平行

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线.

注意:

1.零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.

2.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．

题型1平面向量的几何表示

【方法总结】

（1）向量不仅有大小，而且有方向．大小是代数特征，方向是几何特征．看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可.

（2）要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点.

【例题1】（2023·全国·高一假期作业）已知向量a如图所示，下列说法不正确的是（????）

A．也可以用MN表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M

【答案】D

【详解】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D．

【变式1-1】1.（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003

(1)作出AB、BC、CD（图中1个单位长度表示100m）；

(2)求DA的模．

【答案】(1)作图见解析

(2)200

【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；

（2）由题意可知，四边形ABCD是平行四边形，则可求得DA的模.

【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为(?2,0)，

又因为D点在B点的正北方，所以CD⊥BD，

又CB=2003，所以DB=2002，即D、C两点在坐标系中的坐标为

即可作出AB、BC、CD如下图所示.

（2）如图，作出向量DA，

由题意可知，CD//AB且

所以四边形ABCD是平行四边形，

则DA=

所以DA的模为200

【变式1-1】2.（2022·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．

(1)OA=3

(2)OB=2

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.

【分析】(1)根据描述找出终点A即可；

(2)根据描述找出终点B即可.

【详解】(1)∵OA=3，点A在点O北偏西45°方向，∴

(2)∵OB=22=

【变式1-1】3.（2023·高一课时练习）在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1．

(1)试以B为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为AB，使AB=

(2)在图中画一个以A为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为AM，且|AM|=5