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向量的加法、向量的减法
TOC\o1-3\h\z\u题型1向量加法 3
◆类型1求作图形 4
◆类型2给定图形 10
◆类型3化简 13
题型2向量的减法 15
◆类型1求作图形 16
◆类型2给定图形 20
◆类型3化简 23
题型3利用已知向量表示未知向量 25
题型4向量的模长 28
◆类型1向量的模长 28
◆类型2模长取值范围最值问题 33
题型5利用向量证明几何问题 35
题型6向量加减法的几何意义 39
原理
已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
图示
结论
||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
【拓展】当a，b同向时|a+b|=|a|+|b|；当a，b反向时，|a+b|=|a|-|b|或|b|-|a|
知识点一.向量加法的三角形法则
知识点二.平行四边形法则
原理
已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
图示
运算律
知识点三.多个向量相加
原理
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有
图示
运算律
注意：对于零向量与任一向量a的和有a＋0=0+a=a
知识点四.向量的减法
定义
（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
向量减法的三角形法则
（1）已知向量，，作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
结论
||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|
知识点五.相反向量
定义
给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作-a.
性质
（1）零向量的起点与终点相同，所以-0=0；
（2）任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即a十（一a）=0
（3）一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量
题型1向量加法
【方法总结】三角形法则的使用原则
（1）用三角形法则求和必须使两个向量“首尾相连”，即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合，其和是第一个向量的始点指向第二个向量的终点的向量．简述为“加向量，首尾连；和向量，始点到终点”.
（2）对于零向量与任一向量a的和，有a＋0=0+a=a.
【方法总结】平行四边形法则的使用原则
（1）平行四边形法则的应用前提是两个向量是从同一点出发的不共线向量．
（2）当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用.
（3）向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.
【方法总结】多个向量加法
（1）解决该类题目要灵活应用向量加法的运算律和向量加法法则，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.
（2）运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.
◆类型1求作图形
【例题1-1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量a、b，用向量加法的平行四边形法则作出向量a+
(1)????
(2)??
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）（2）利用平面向量加法的平行四边形法则可作出向量a+
【详解】（1）解：作OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作
则OC即为所求作的向量.
????
（2）解：作OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作
则OC即为所求作的向量.
??
【变式1-1】1.（2023·高一课时练习）已知向量a，b，c，求作a+
（1）
（2）
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【分析】（1）根据向量的三角形法则求和（2）平移向量首尾相接，即可由三角形法则求和.
【详解】（1）????由向量加法的三角形法则可得：
作
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