高中数学同步精品讲义：指对幂函数期末复习十五大题型汇总.docxVIP

PAGE

PAGE1

指对幂函数期末复习十五大题型汇总

技巧一.根式与分数指数幂互化依据:

（1）在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：amn＝nam和a?mn

（2）将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂.

口诀：内子外母

技巧二.指数幂的一般运算步骤：

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．

负指数幂化为正指数幂的倒数．

底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数

底数(较大的整数分解质因数)化成指数幂

然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.

技巧三.指数式与对数式互化的方法：

?1?将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；

?2?将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.

技巧四.求对数式logaN?a0，且a≠1，N0?的值的步骤

?1?设logaN＝m；

?2?将logaN＝m写成指数式am＝N；

?3?将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.

技巧五.对数的运算法则的证明:

1.loga(MN)=logaM+logaN;

2.logaMN=logaM-loga

3.logaMn=nlogaM.(其中a0,a≠1,M0,N0,n∈R)

技巧六.对数化简求值

1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．

2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：

(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；

(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．

技巧七.求对数型函数的定义域时应遵循的原则

?1?分母不能为0.

?2?根指数为偶数时，被开方数非负.

?3?对数的真数大于0，底数大于0且不为1.

技巧八.处理指数函数图象问题的策略

1.抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．

2.巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．

3.利用函数的性质：奇偶性与单调性．

技巧九.形如指数型函数求定点：

1.求x，令f(x)=0求解x;

2.求y=A+B

技巧十.对数函数图像过定点问题

y＝logax(a0，且a≠1)图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0

技巧十一.比较幂的大小的方法:

1.同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.

2.指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.

3.底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.

4.当底数含参数时，要按底数a1和0a1两种情况分类讨论.

技巧十二.比较对数值大小的常用方法

1.同底数的利用对数函数的单调性.

2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.

3.底数和真数都不同，找中间量.

注意：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.

技巧十三.解简单指数不等式问题的注意点

1.形如axay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0a1和a1两种情况进行讨论．

2.形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．

3.形如axbx的不等式，可借助图象求解．

技巧十四.解对数不等式问题的注意点

1.形如logaxlogab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况进行讨论．

2.形如logaxb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．

3.形如logf(x)alogg(x)a(f(x)，g(x)0且不等于1，a0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．

题型1指对幂混合运算

【例题1】（2022上·辽宁铁岭·高一校考期末）（1）已知a≤2，化简：a?22

（2）求值：3

【答案】（1）7；（2）3

【分析】（1）指幂运算的求解；（2）指数对数的运算.

【详解】（1）∵a?22=a?2，又∵a≤2,a?2≤0，

∵3a+33=a+3

∴a?22

（2）3?log32+

【变式1-1】1.（2021上·广东清远·高一校考期末）化简或求值

(1)(0.064)

(2)lg

(3)(3?π)

【答案】(1)31

(2)0

(3)π?5

【分析】根据指数幂运算，对数的加减法和根式的求解方法即可得解.

【详解】（1）(0.064)

=

=

=3+

=

（