高中数学同步学案 复数的加法与减法.docVIP

PAGE

3.2复数的运算

3．2.1复数的加法与减法

eq\a\vs4\al([对应学生用书P35])

复数的加法与减法

已知复数z1＝a＋bi,z2＝c＋di(a,b,c,d∈R)．

问题1：多项式的加减实质是合并同类项,类比想一想复数如何加减？

提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减),即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.

问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？

提示：满足．

问题3：利用问题1的结果试说明复数加法满足交换律．

提示：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i,

z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i,

∴z1＋z2＝z2＋z1.

复数的加法与减法

(1)运算法则：

设z1＝a＋bi,z2＝c＋di(a,b,c,d∈R),

则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i,

z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.

(2)加法运算律：

设z1,z2,z3∈C,有z1＋z2＝z2＋z1,

(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).

复数加减法的几何意义

如图,分别与复数a＋bi,c＋di对应．

问题1：试写出,及＋,－的坐标．

提示：＝(a,b),＝(c,d),

＋＝(a＋c,b＋d),－＝(a－c,b－d)．

问题2：向量＋,－对应的复数分别是什么？

提示：向量＋对应的复数是a＋c＋(b＋d)i,也就是z1＋z2,向量－对应的复数是a－c＋(b－d)i,也就是z1－z2.

若复数z1,z2对应的向量分别为,

复数加法

的几何意义

复数z1＋z2是以,为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数

复数减法的几何意义

复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数

1．复数的加减法中规定,两复数相加减,是实部与实部相加减,虚部与虚部相加减,复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．

2．两个复数的和(差)是复数,但两个虚数的和(差)不一定是虚数,例如(3－2i)＋2i＝3.

eq\a\vs4\al([对应学生用书P36])

复数的加法与减法运算

[例1]计算

(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；

(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2013－2014i)．

[思路点拨]根据复数加、减运算的法则进行运算．

[精解详析](1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i.

(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2011－2012＋2013)＋(－2＋3－4＋5－…－2012＋2013－2014)i＝1007－1008i.

[一点通]复数的加法运算类似于多项式的合并同类项,首先正确确定各个复数的实部、虚部,再将所有实部和虚部分别求和,最后将实部和作为实部,虚部和作为虚部,写出复数的代数形式,注意减法要将减数的实部、虚部变为相反数进行求和．

1．实数x,y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2,则xy的值是()

A．1 B．2

C．－2 D．－1

解析：由题意得x＋y＋(x－y)i＝2,

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))

∴xy＝1.

答案：A

2．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；

(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．

解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；

(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.

3．设z1＝2＋bi,z2＝a＋i,当z1＋z2＝0时,求复数a＋bi.

解：z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)

＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0.

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋a＝0，,b＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1.))

∴a＋bi＝－2－i.

复数加减法的几何意义

[例2]已知ABCD是复平面内的平行四边形,且A,B,C三点对应的复数分别是1＋3i,－i,2＋i,求点D对应的复数及AD的长．

[精解详析]设D点对应的复数为x＋yi(x,y∈R),则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i,又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i.由已知知＝,

∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝2，,y－3＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5.))

即D