2025届高考数学二轮专题复习与测试专题1立体几何初步.docVIP

板块三立体几何

微专题1立体几何初步

小题考法1空间几何体的表面积和体积

[核心提炼]

1．旋转体的侧面积和表面积

(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长).

(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长).

(3)S圆台侧＝π(r＋r′)l，S圆台表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r′，r分别为上、下底面半径，l为母线长).

(4)S球表＝4πR2(R为球的半径).

2．空间几何体的体积公式

(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为柱体的高).

(2)V锥体＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为锥体的高).

(3)V台体＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高).

(4)V球＝eq\f(4,3)πR3(R为球的半径).

命题角度?空间几何体的表面积

(1)(2024·菏泽三模)已知圆台O1O2的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面的周长为16，则该圆台的表面积为(C)

A．24π B．25π

C．26π D．27π

【解析】如图，作出圆台的轴截面ABDC，设上底面圆O1的半径为r，则下底面圆O2的半径是3r，故轴截面的周长为

16＝4＋4＋2r＋6r，解得r＝1，所以上、下底面圆的面积分别为π，9π，圆台的侧面积S侧＝π(1＋3)×4＝16π，

所以圆台的表面积为π＋9π＋16π＝26π.

(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．

【解析】设正方体的棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1-AB1C为正四面体，其每个面都是边长为eq\r(2)的正三角形，其表面积为4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(6),2)＝2eq\r(3)，所以三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶eq\r(3).

【答案】1∶eq\r(3)

破解空间几何体的表面积问题的关键

(1)会转化：将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化．

(2)会分类：能识别所给的几何体是规则的几何体，还是不规则的几何体，还是简单的组合体．

(3)用公式：对于规则的几何体或简单的组合体，只需利用公式即可求解，需注意所求的是表面积还是侧面积；对于不规则的几何体，将所给几何体割补成柱体、锥体、台体，先求出这些柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积．

1．已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积的比值为(C)

A.eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)

C．eq\f(\r(3),3) D．eq\r(3)

解析：设圆锥底面圆的半径为r，则圆锥的母线长l＝2r，圆柱的母线长等于圆锥的高h＝eq\r(3)r，记圆锥和圆柱的侧面积分别为S1，S2，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(πrl,2πrh)＝eq\f(\r(3),3).

2．如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度(单位：dm)分别为2，6，4，正三棱柱各侧棱长度均相等，则该结构的表面积(单位：dm2)为(A)

A．34eq\r(3)＋8 B．34eq\r(3)＋44

C．34eq\r(3)＋48 D．34eq\r(5)＋8

解析：由题可得正三棱柱的底面积为eq\f(1,2)×2×2×sin60°＝eq\r(3)(dm2)，则正三棱柱的外露表面积为2×eq\r(3)＋2×2×2＝8＋2eq\r(3)(dm2).正四棱台侧面梯形的高为eq\r(42－（\f(6－2,2)）2)＝2eq\r(3)(dm)，则正四棱台的外露表面积为4×eq\f(1,2)×(2＋6)×2eq\r(3)＝32eq\r(3)(dm2)，

故该结构的表面积为32eq\r(3)＋8＋2eq\r(3)＝34eq\r(3)＋8(dm2).

命题角度?空间几何体的体积

(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为eq\r(3)，则圆锥的体积为(B)

A．2eq\r(3)π B．3eq\r(3)π

C．6eq\r(3