2025届高考数学二轮专题复习与测试专题1函数的图象与性质.doc

板块六函数与导数

微专题1函数的图象与性质

小题考法1函数的图象

[核心提炼]

(1)作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．

(2)利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．

命题角度?函数图象的识别

(1)(2024·全国甲卷)函数y＝－x2＋(ex－e－x)sinx在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(B)

【解析】令y＝f(x)，由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)·sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C；f(1)＝－1＋(e－eq\f(1,e))·sin1－1＋(e－eq\f(1,e))sineq\f(π,6)＝－1＋eq\f(e,2)－eq\f(1,2e)0，排除D.

(2)如图是函数H(x)图象的一部分，设函数f(x)＝sinx，g(x)＝eq\f(1,x)，则H(x)可以表示为(C)

A.f(x)·g(x)

B．eq\f(f（x）,g（x）)

C．f(x)＋g(x)

D．f(x)－g(x)

【解析】易知f(x)＝sinx与g(x)＝eq\f(1,x)均为奇函数，由题图可知，H(x)也为奇函数，故排除A，B；对于D，当x→0＋时，sinx→0，eq\f(1,x)→＋∞，所以当x→0＋时，f(x)－g(x)＝sinx－eq\f(1,x)0，显然不满足题图，故排除D.故选C.

寻找函数图象与解析式对应关系的方法

知式选图

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复

知图选式

(1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；

(2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性；

(3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性

命题角度?函数图象的应用

(多选)(2024·平凉模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,|log2x|，x＞0，))若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝k，则下列结论正确的是(BCD)

A．x1＋x2＝－1

B．x3x4＝1

C．1＜x4＜2

D．0＜k＜1

【解析】由函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,|log2x|，x＞0))作出其函数图象如图所示，

由图可知，x1＋x2＝－2，－2＜x1＜－1.

当y＝1时，令|log2x|＝1，

得x＝eq\f(1,2)或x＝2，所以eq\f(1,2)＜x3＜1＜x4＜2.

由f(x3)＝f(x4)，

得|log2x3|＝|log2x4|，

即log2x3＋log2x4＝0，

所以x3x4＝1，由图可知0＜k＜1.

(1)利用函数的图象研究方程或不等式

当方程或不等式不能用代数法求解，但与函数有关时，常转化为两函数图象的关系问题，从而利用数形结合求解．

(2)利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或易画出解析式在给定区间上的图象的函数，其性质常借助图象研究．

①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；

②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；

③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．

1．(2023·天津卷)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为(D)

A．f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)

B．f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)

C.f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2)

D．f(x)＝eq\f(5cosx,x2＋1)

解析：方法一：由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．对于A，f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)，定义域为R，f(－x)＝eq\f(5（e－x－ex）,x2＋2)＝－f(x)，所以f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)是奇函数，故排除A；对于B，f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)，定义域为R，f(－x)＝eq\f(5sin（－x）,x2＋1)＝－eq\f(5sinx,x2＋1)＝－f(x)，所以f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)是奇函数，故排除B；对于C，f(x)