2025届高考数学二轮专题复习与测试第一部分板块突破篇板块一三角函数与平面向量提升点三角函数中ωφ的求法.docVIP

提升点三角函数中ω，φ的求法

类型1由三角函数的单调性求解

若函数f(x)＝2sin(ωx＋eq\f(π,6))(ω＞0)在区间[－eq\f(π,6)，eq\f(π,6)]上具有单调性，则ω的最大值是(B)

A．1 B．2

C．3 D．4

【解析】当x∈[－eq\f(π,6)，eq\f(π,6)]时，ωx＋eq\f(π,6)∈[－eq\f(π,6)ω＋eq\f(π,6)，eq\f(π,6)ω＋eq\f(π,6)].

若函数f(x)在[－eq\f(π,6)，eq\f(π,6)]上单调递增，

则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)ω＋\f(π,6)≥－\f(π,2)＋2kπ，,\f(π,6)ω＋\f(π,6)≤\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)，

解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ω≤4－12k，,ω≤2＋12k))(k∈Z)，又ω＞0，所以若不等式组有解，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－12k＞0，,2＋12k＞0，))

解得－eq\f(1,6)＜k＜eq\f(1,3)，k∈Z，所以k＝0，则0＜ω≤2；

若函数f(x)在[－eq\f(π,6)，eq\f(π,6)]上单调递减，

则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)ω＋\f(π,6)≥\f(π,2)＋2kπ，,\f(π,6)ω＋\f(π,6)≤\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)，

解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ω≤－2－12k，,ω≤8＋12k))(k∈Z)，

又ω＞0，所以若不等式组有解，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2－12k＞0，,8＋12k＞0，))

解得－eq\f(2,3)＜k＜－eq\f(1,6)，与k∈Z矛盾，

所以函数f(x)在[－eq\f(π,6)，eq\f(π,6)]上单调递减不成立．

综上所述，ω∈(0，2]，则ω的最大值为2.故选B.

由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的一个单调区间[m，n](区间也可以是开区间或半开半闭区间)求解ω或φ的取值范围，将区间端点值代入后，去对应[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)或[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)，列出不等式(组)求解．另外，因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b在一个周期内的单调递减(增)区间的区间长度恰好是eq\f(T,2)，所以具有单调性的区间长度必不超过eq\f(T,2)，根据这个性质有时也可求出ω的范围．

(2024·广东一模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0)在区间(eq\f(π,6)，eq\f(7π,12))上单调，且满足f(eq\f(π,6))＝－1，f(eq\f(3π,4))＝0，则ω＝________．

解析：依题意，f(x)min＝f(eq\f(π,6))＝－1，而函数f(x)在(eq\f(π,6)，eq\f(7π,12))上单调，则函数f(x)的最小正周期T≥2×(eq\f(7π,12)－eq\f(π,6))＝eq\f(5π,6)，

又f(eq\f(3π,4))＝0，且eq\f(3π,4)－eq\f(π,6)＝eq\f(7π,12)T，

因此eq\f(T,4)＝eq\f(7π,12)或eq\f(3T,4)＝eq\f(7π,12)，解得T＝eq\f(7π,3)或T＝eq\f(7π,9)eq\f(5π,6)(不合题意，舍去)，

所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(6,7).

答案：eq\f(6,7)

类型2由三角函数的最值求解

已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|eq\f(π,2))的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离为π，若对任意的x∈(eq\f(π,24)，eq\f(π,3))，不等式f(x)eq\f(1,2)恒成立，则φ的取值范围是(A)

A.[eq\f(π,12)，eq\f(π,6)] B．(eq\f(π,12)，eq\f(π,3))

C．[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)] D．(eq\f(π,6)，eq\f(π,2))