2025届高考数学二轮专题复习与测试第一部分板块突破篇板块六函数与导数提升点导数应用中的函数构造.doc

提升点导数应用中的函数构造

近几年的数学试题中，很多涉及导数问题的解答常需要构造新函数，即联系已知条件和结论，构造辅助函数，若题目中遇到有关不等式、方程及最值类的问题，则可构造函数，并确定自变量的范围，通过研究函数的单调性、最值等，使问题变得清晰明了．构造函数的主要依据有两个：一是直接根据所求解的不等式或方程；二是根据求导的基本法则．常见的函数构造有具体函数和抽象函数两种．

类型1具体函数的构造

(1)设a＝eq\f(2,e2)，b＝eq\f(ln2,2)，c＝eq\f(1,e)，则a，b，c的大小关系为(D)

A．c＜b＜a B．b＜a＜c

C．a＜c＜b D．a＜b＜c

【解析】令f(x)＝eq\f(lnx,x)(x＞0)，则f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，所以当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．a＝eq\f(2,e2)＝eq\f(lne2,e2)＝f(e2)，b＝eq\f(ln2,2)＝eq\f(2ln2,2×2)＝eq\f(ln4,4)＝f(4)，c＝eq\f(1,e)＝eq\f(lne,e)＝f(e)，因为e＜4＜e2，所以f(e2)f(4)f(e)，即a＜b＜c.故选D.

(2)设实数λ＞0，若对任意的x∈(0，＋∞)，不等式eλx－eq\f(lnx,λ)≥0恒成立，则λ的最小值为________．

【解析】方法一(同“左”同构)：eλx－eq\f(lnx,λ)≥0(λ0，x0)?λxeλx－xlnx≥0?λxeλx≥xlnx?λxeλx≥elnxlnx，

令f(x)＝xex，上述不等式可等价转化为f(λx)≥f(lnx)，易知f(x)在R上是增函数，所以λx≥lnx，所以λ≥eq\f(lnx,x).

令h(x)＝eq\f(lnx,x)，则h′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，当x∈(0，e)时，h′(x)0，当x∈(e，＋∞)时，h′(x)0，所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，则h(x)max＝h(e)＝eq\f(1,e)，即λ≥eq\f(1,e).

方法二(同“右”同构)：eλx－eq\f(lnx,λ)≥0(λ0，x0)?λxeλx－xlnx≥0?λxeλx≥xlnx?ln(eλx)·eλx≥xlnx，令g(x)＝xlnx，上述不等式可等价转化为g(eλx)≥g(x)，易知g(x)在(eq\f(1,e)，＋∞)上单调递增，在(0，eq\f(1,e))上单调递减，因为x＞0，λ＞0，所以eλx＞1.

若x∈(1，＋∞)，由g(eλx)≥g(x)，有eλx≥x；若x∈(0，1]，恒有eλx＞x.

所以当x＞0，λ＞0，g(eλx)≥g(x)时，恒有eλx≥x，所以λx≥lnx，所以λ≥eq\f(lnx,x).

下同方法一．

方法三(取对数同构)：eλx－eq\f(lnx,λ)≥0(λ0，x0)?λxeλx－xlnx≥0?λxeλx≥xlnx，若x∈(0，1]，恒有λx＞0≥lnx.

若x∈(1，＋∞)，有λxeλx≥xlnx?ln(λx)＋λx≥lnx＋ln(lnx)，令φ(x)＝x＋lnx，上述不等式可等价转化为φ(λx)≥φ(lnx)，易知φ(x)在(0，＋∞)上是增函数，则λx≥lnx．所以当x＞0，λ＞0，总有λx≥lnx，所以λ≥eq\f(lnx,x).

下同方法一．

【答案】eq\f(1,e)

对于含有同等地位的两个变量的不等式(或方程)进行变形，通过变形整理后的不等式(或方程)两边具有相同结构，往往通过函数的单调性进行求解，这类问题主要针对双变量x1，x2(或a，b)，常见的类型有：

(1)eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞k(x2＞x1)?f(x1)－f(x2)＜kx1－kx2?f(x1)－kx1＜f(x2)－kx2?构造y＝f(x)－kx为增函数．

(2)eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜eq\f(k,x1x2)(x2＞x1)?f(x1)－f(x2)＞eq\f(k（x1－x2）,x1x2)?f(x1)＋eq\f(k,x1)＞f(x2)＋eq\f(k,x2)?构造y＝f(x)＋eq\f(k,x)为减函数．

(3)指对变形的五种等价形式：

①lnex＝x＝elnx(核心公式)；

②xex＝elnxex＝elnx＋x；

③e