偏导数和全微分的概念.ppt

一.偏导数设二元函数在区域有定义是的内点.若(常数),一元函数在可导,即极限存在,则称此极限是函数在关于的偏导数,表为类似若(常数),一元函数在可导,即极限存在,则称此极限是函数在关于的偏导数,表为若函数在区域任意都存在关于(关于)的偏导数,则称函数在区域存在关于(关于)的偏导数,也简称偏导数,表为一般情况下元函数在点关于的偏导数是极限由此可见,多元函数的偏导数就是多元函数分别关于每一个自变量的导数,因此可按一元函数的求导法则和求导公式来求偏导数全微分对于一元函数，我们曾研究过关于的微分，它具有两个特性，即;(i)它与自变量的改变量成比例，即，(ii)当自变量的改变量充分小时，它与函数的改变量之差是较自变量的改变量为更高阶的无穷小量,，我们也从同样的思想出发，引进如下定义.现在我们讨论多元函数情形，例如，对于二元函数全微分的定义若函数的全改变量可表示为且其中与，无关而仅与，有关，则称函数在点可微，并称为在点的全微分，记为或，即若在点可微，则有这就是说若在点可微，则存在且等于.完全一样地可以证明此时也存在且等于.故有定理若及在点及其一领域内存在，且在这一点它们都连续，则函数在该点可微.例4设，则有..例5写出的全微分.三、高阶偏导数与高阶全微分类似于一元函数，可以定义高阶偏导数，就二元函数来说及仍是，的二元函数，还可以讨论它们关于或的偏导数，这些就称为函数的二阶偏导数.例如，关于再求偏导数，即就称为关于的二阶偏导数，记为或，也可记为.相仿地，还有二元函数的二阶偏导数一共有四个，其中和称为混合偏导数.同样，还可以定义更高阶的偏导数，如，或记为，或记为等等.例6设（1），（2）求二阶偏导数.定理若及在点都连续，则.