专项32 相似三角形-射影定理综合应用（2种类型）（原卷版）.pdfVIP

专项32相似三角形-射影定理综合应用（2种类型）

一、射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；

且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，

２

则有ＣD＝ＢＤ•AD、

２

ＢＣ＝ＢＤ•ＡＢ或

２

ＡＣ＝ＡＤ•ＡＢ。（证明略）

二、变式推广

２

１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ＝ＢＤ•ＡＤ

２２

或ＡＣ＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠

Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍

有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2））

如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或

２

∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ＝ＢＤ•AB；反之，若△Ａ

２

ＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，

可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

【类型1：直角三角形中射影定理】

【典例1】（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，点D在AB上，且

＝．

（1）求证△ACD∽△ABC；

（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．

【变式1-1】（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，ACB＝90°，CD⊥AB，若

AD＝4，BD＝8，则CD的长为（）

A．4B．4C．4D．

【变式1-2】（2021秋•漳州期末）如图，在Rt△ABC中，BAC＝90°，AD⊥BC，垂足

为D，AD＝3，CD＝4，则BD的长为（）

A．B．C．D．2

【变式1-3】（2020秋•梁平区期末）如图，Rt△ABC中，ACB＝90°，CD⊥AB于点D，

下列结论中错误的是（）

2222

A．AC＝AD•ABB．CD＝CA•CBC．CD＝AD•DBD．BC＝BD•BA

【变式1-4】（2015•黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝

4，DB＝5，则BC的长是（）

A．3B．8C．D．2

【类型2：非直角三角形中射影定理】

【典例2】如图，已知A＝70°，APC＝65°，AC2＝AP•AB，则B的度数为（）

A．45°B．50°C．55°D．60°

【变式2-1】如图，在△ABC中，点D在边AB上，若ACD＝B，AD＝3，BD＝4，则

AC的长为（）

A．2B．C．5D．2

【变式2-2】如图，在△ABC中，点D在AB边上，ABC＝ACD．

（1）求证：△ABC∽△ACD；

（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长．

【典例3】如图，在△ABC中，A＝90°，点D、E分别在AC、BC边上，BD＝CD＝

2DE，且C+