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集合练习题

知识点

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．

⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当然，我们所说的“一些元素〞是确定的．

⑵互异性－即集合中的元素是互不一样的，如果出现了两个(或几个)一样的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的．

⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．

我们通常用大写拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．

常用数集及其记法

非负整数集〔或自然数集〕，记作N

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z

有理数集，记作Q

实数集，记作R

3．元素及集合之间的关系

2．选择题

⑴以下说法正确的()

(A)“实数集〞可记为{R}或{实数集}

(B){a,b,c,d}及{c,d,b,a}是两个不同的集合

(C)“我校高一级全体数学学得好的同学〞不能组成一个集合,因为其元素不确定

⑵2是集合M={}中的元素，则实数为()

(A)2(B)0或3(C)3(D)0,2,3均可

二、集合的几种表示方法

1、列举法－将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素及元素之间用逗号分开．

*有限集及无限集*

⑴有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集

例如:A={1~20以内所有质数}

⑵无限集--------含有无限个元素的集合叫无限集

例如:B={不大于3的所有实数}

2、描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.

具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

3、图示法--画一条封闭曲线,用它的内部来表示一个集合.常用于表示不需给具体元素的抽象集合.对已给出了具体元素的集合也当然可以用图示法来表示

如:集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为:

三、集合间的根本关系

观察下面几组集合，集合A及集合B具有什么关系？

(1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}.

(2)A={x|x3},B={x|3x-60}.

(3)A={正方形}，B={四边形}.

(4)A=，B={0}.

定义：一般地，对于两个集合A及B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作AB〔或BA〕,即假设任意xA,有xB，则AB(或AB)。这时我们也说集合A是集合B的子集〔subset〕。

如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A,就记作A?B〔或B?A〕，即:假设存在xA,有xB，则A?B(或B?A)

说明：AB及BA是同义的，而AB及BA是互逆的。

规定:空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有A。

例1．判断以下集合的关系.

(1)N_____Z;(2)N_____Q;(3)R_____Z;(4)R_____Q;

(5)A={x|(x-1)2=0}，B={y|y2-3y+2=0};

(6)A={1,3}，B={x|x2-3x+2=0};

(7)A={-1,1}，B={x|x2-1=0};

〔8〕A={x|x是两条边相等的三角形}B={x|x是等腰三角形}。

问题：观察〔7〕和〔8〕，集合A及集合B的元素，有何关系？

集合A及集合B的元素完全一样，从而有：

2.集合相等

定义：对于两个集合A及B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素〔即AB〕，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素〔即BA〕，则称集合A等于集合B，记作A=B。如：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。

问题：〔1〕集合A是否是其本身的子集？〔由定义可知，是〕

〔2〕除去及A本身外，集合A的其它子集及集合A的关系如何？〔包含于A，但不等于A〕

3.真子集：

由“包含〞及“相等〞的关系，可有如下结论：

(1)AA(任何集合都是其自身的子集)；

(2)假设AB，而且AB〔即B中至少有一个元素不在A中〕，则称集合A是集合B的真子集〔propersubset〕，记作A?≠B。〔空集是任何非空集合的真子集〕

(3)对于集合A，B，C，假设A?B，B?C，即可得出A?C；对A?≠B，B?≠C，同样有A?≠C,即：包含关系具有“传递性〞。

4.证明集合相等的方法：

证明集合A，B中的元素完全一样；〔具体数据〕

分别证明AB和BA即可。〔抽象情况〕

对于集合A