河北省衡水中学2024-2025学年高三上学期第五次综合素养数学试题（含答案解析）.docx

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河北省衡水中学2024-2025学年高三上学期第五次综合素养数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数满足，则的虚部为（????）

A． B． C． D．

2．在中，，则（????）

A． B． C． D．

3．用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上?下底面边长分别为1和2，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积是（????）

A． B． C． D．

4．已知等差数列的前项和为，若，且，则（???）

A．60 B．72 C．120 D．144

5．已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列条件能推出的是（????）

A．，，且，

B．，，且

C．，，且

D．，，且

6．函数，若，则实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

7．当时，函数取得最大值，则（????）

A． B． C． D．1

8．已知正方体为下底面的中心，为棱的中点，则下列说法错误的是（????）

A．直线与直线所成角为 B．直线与直线所成角为

C．直线平面 D．直线与底面所成角为

二、多选题

9．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（????）

A．的图象关于对称

B．

C．

D．

11．已知中，，，E，F分别在线段BA，CA上，且，．现将沿EF折起，使二面角的大小为．以下命题正确的是（???）

A．若，，则点到平面的距离为

B．存在使得四棱锥有外接球

C．若，则棱锥体积的最大值为

D．若，三棱锥的外接球的半径取得最小值时，

三、填空题

12．河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证．一名身高的同学假期到河北省正定县旅游，他在处仰望须弥塔尖，仰角为，他沿直线（假设他的行走路线和塔底在同一条直线上）向塔行走了后仰望须弥塔尖，仰角为，据此估计该须弥塔的高度约为m．（参考数据：，结果保留整数）

13．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，.若，则的值为.

14．曲线在，两点处的切线分别为，，且，则；若，交点的横坐标为，则．

四、解答题

15．已知的面积为，为边的中点，，．

(1)求的长；

(2)求角的正弦值．

16．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，设为两个不相等的正数，且满足，证明：．

17．已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.

(1)求数列和的通项公式；

(2)若，设数列的前项和为，求.

18．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，且、分别是、上靠近的三等分点．

(1)求证：；

(2)在上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

19．设是定义域为且图象连续不断的函数，若存在区间和，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“山峰函数”，为“峰点”，称为的一个“峰值区间”．

(1)判断是否是“山峰函数”？若是，请指出它的一个峰值区间；若不是，请说明理由；

(2)已知是山峰函数，且是它的一个峰值区间，求的取值范围；

(3)设，函数．设函数是山峰函数，是它的一个峰值区间，并记的最大值为．若，且，，求的最小值．（参考数据：）

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

A

B

B

C

A

B

C

AD

ACD

题号

11

答案

ACD

1．A

【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.

【详解】因为，所以，

所以的虚部为.

故选：A.

2．A

【分析】先结合图形表示出，；再根据向量的减法运算即可解答.

【详解】

??

因为，

所以，.

所以.

故选：A

3．B

【分析】根据正四棱台性质可求得该棱台的高，代入棱台的体积公式即可求得结果.

【详解】如下图所示：分别为上下底面的中心，作于点，

根据题意可知，侧棱与底面所成的角即为，可知；

因此可得，

易知，由正四棱台性质可得；

所以该正四棱台的高为，

因此该四棱台的体积是