高中数学同步精品讲义：对数函数常考题型十大题型汇总.docxVIP

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对数函数常考题型二十大题型汇总

技巧一.对数函数的图像

0a1

a1

图象

定义域

0,+

值域

R

函数值的变化

当y0时，x∈0,1当y0时，x∈1,+

当y0时，x∈1,+∞；当y0时，x∈

性质

均过定点1,0

单调性：单调减

单调性：单调增

技巧二.对数定义域为R问题

对于y=loga(f(x))，定义域是R，则

恒成立，则可以转化

1.为af(x)恒成立?a≥f(x)

2.af(x)恒成立?a≤f(x)

技巧三.解对数不等式，

可以采用“同底法”，利用对数的单调性求解.要注意以下两点：

1.对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.

2.(a0且a≠1,M0,N0)

指对互化：a

技巧四对数函数的值域

1.常规型，利用单调性，在定义域内求.

2.复合型，首先求出定义域，可以采用换元的方式，内外函数单调性满足“同增异减”由内向外求解值域.

技巧五.函数对称性与周期性的判断如下：

1.若fx+a=f?x+b，则函数y=f

2.若fx+a+f?x+b=0，则函数

3.若fx+a=fx+b，则a?b是

技巧六.对数值域为R求参：

对于y=loga(f(x))，值域是R，则f(x)0恒成立，满足f(x)值域是(0,+∞)，如果是一元二次函数，满足

技巧七.单调性的计算

1.单调性的运算关系：

①一般情况下，－f(x)和1f(x)均与函数f(x)的单调性相反；

??②同区间，↑+↑=↑，↓+↓=↓，↑－↓=↑，↓－↑=↓；

2.单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有：

①0?f（x）是[a，b]上的增函数；????????????

②0?f（x）是[a，b]上的__减函数__；

（3）复合函数单调性结论：????同增异减??

（4）对数函数单调性，在定义域内，结合底数大于1还是小于1，分类讨论

技巧八.对数绝对值

对于f(x)=|loga

1.0

2.x

3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”

题型1对数函数定点问题

【例题1】（2022上·重庆巫山·高一校考期末）函数f(x)=loga(x?3)+2（a0且a≠0）的图像恒过定点P

A．(4,3) B．(1,2) C．(2,0) D．(4,2)

【答案】D

【分析】根据题意，令x?3=1，代入计算，即可得到定点坐标.

【详解】令x?3=1，可得x=4，则f4=loga1+2=2

故选：D

【变式1-1】1.（2022上·云南昆明·高一校考期末）函数y=log

A．(?1,1) B．(1,1) C．(?2,1) D．(2,1)

【答案】A

【分析】令x+2=1即可求得定点.

【详解】令x+2=1，得x=?1，

此时y=1，

即函数y=loga(x+2)+1

故选：A.

【变式1-1】2.（2022上·黑龙江大兴安岭地·高一校考期末）已知函数f(x)=loga(x+3)?89

【答案】1

【分析】先求出定点的坐标，代入g(x)=3

【详解】令x+3=1?x=?2，所以f(?2)=loga1?

代入g(x)=3x+b，所以g(?2)=3?2

g(log

故答案为：1.

【变式1-1】3.（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数y=loga2x+3?4(a0且a≠1)过定点P，且定点P在直线

【答案】4

【分析】根据对数函数的性质得P(?1,?4)，代入直线方程得a+2+4b=9，再根据基本不等式可求出结果.

【详解】令2x+3=1，即x=?1，得y=?4，故P(?1,?4)，

由P(?1,?4)在直线l:ax+by+7=0(b0)上，得?a?4b+7=0，即a+2+4b=9，

因为a0且a≠1，b0，所以a+22且a+2≠3，4b0，

所以1a+2+14b=1a+2

当且仅当4ba+2=a+24b，即a+2=4b=9

故1a+2+1

故答案为：4

【变式1-1】4.（2021·高一课时练习）函数y=loga(2x?3)+8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)

【答案】27

【分析】由对数函数与幂函数的性质求解，

【详解】令2x?3=1，得x=2，此时y=8，故定点A(2,8)，

设f(x)=xα，则f(2)=2α=8

故答案为：27

题型2对数函数比较大小

【例题2】（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）下列对数值比较大小正确的是（????）

A．log2.10.4log2.10.3 B．log1

【答案】C

【分析】利用对数函数的运算法则和单调性逐项判断即可.

【详解】对于A，由函数y=log2.1x在0,+

对于B，函数y=log12x在

对于C，由log3

对于D，函数log230,log

故选：C

【变式2-1】1．（2