重庆市第八中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题.docx

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重庆市第八中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（????）

A． B． C． D．

2．若，则（????）

A．-1 B．0 C．1 D．2

3．已知圆经过点和点，且圆心在直线上，则圆的半径为（????）

A． B． C． D．

4．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（????）

A．10 B． C．40 D．44

5．已知点是的重心，若，则（????）

A． B． C． D．

6．已知直线为空间中一条直线，平面，，为两两相互垂直的三个平面，则（????）

A．若，则与和相交 B．若，则或

C．若，则，且 D．若，则

7．已知海面上有一监测站，其监测范围为以为圆心，半径为的圆形区域，在A正东方向处有一货船，该船正以的速度向北偏西方向行驶，则货船行驶在监测站监测范围内的总时长为（????）

A． B． C． D．

8．椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（????）

A． B． C． D．2

二、多选题

9．已知圆，圆，则（????）

A．直线的方程为

B．圆经过，两点，则圆的面积的最小值为

C．与圆和圆都相切的直线共有四条

D．若，分别为圆，圆上两动点，则的最大值为10

10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（????）

A．的周长为

B．存在点，使得

C．若，则的面积为

D．使得为等腰三角形的点共有4个

11．在矩形中，，点是边的中点，将沿翻折，直至点落在边上.当翻折到的位置时，连结，，则（????）

??

A．四棱锥体积的最大值为

B．存在某一翻折位置，使得

C．为的中点，当时，二面角的余弦值为

D．为的中点，则的长为定值

三、填空题

12．已知直线与圆相切，则实数的值为.

13．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为.

14．已知正四面体的棱长为，在棱上，且，则此正四面体的外接球球心到平面的距离为.

四、解答题

15．已知直线的方程为：.

(1)求证：不论为何值，直线必过定点；

(2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值.

16．在锐角中，角所对的边分别为，，，且.

(1)求证：；

(2)若的角平分线交于，且，求线段的长度的取值范围.

17．在平面直角坐标系中，已知圆，不与轴垂直的直线过点且与圆相交于，两点.

(1)已知，求直线的方程；

(2)已知点且的面积为，求直线的方程.

18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面.

(1)求证：为中点；

(2)求平面与平面夹角的正弦值；

(3)若点为棱上一动点（含端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.

19．在平面直角坐标系中，已知椭圆与轴和轴的交点分别为，，，（在左侧，在下侧），直线（且）与直线交于点，过点且平行于的直线交于点（异于点），交轴于点，直线交于点（异于点），直线交轴于点.

(1)当时，求出，两点的坐标；

(2)直线与直线是否相互平行？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

B

C

D

D

C

A

ABD

AB

题号

11

答案

ACD

1．A

【分析】根据方向向量可得斜率，进而可得倾斜角.

【详解】设倾斜角为，

因为直线的方向向量是，则直线的斜率，

故倾斜角的正切值为，

且，所以的倾斜角为.

故选：A.

2．C

【分析】根据同角三角函数的基本关系，把问题转化为“齐次式”求解.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：C

3．B

【分析】依据题意，设圆心为，根据圆心到点和点的距离相等，可得出关于实数的等式，

求出实数的值，可得出圆心坐标，再利用两点间的距离公式可求得圆的半径.

【详解】因为圆心在直线，设圆心为，

因为圆经过点和，可得，

解得，故圆心为，则圆的半径为.

故选：B.

4．C

【分析】先根据正四棱台的结构特点，求出斜高，在根据侧面积的计算方法求其侧面积.

【详解】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱