高中数学同步精品讲义：对数函数的性质与图像.docxVIP

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对数函数的图象与性质

TOC\o1-3\h\z\u题型1对数函数的概念 2

题型2对数函数求值 5

◆类型1对数函数求解析式 5

◆类型2对数函数求值 8

◆类型3对数函数含参求值 10

题型3与对数函数有关的定义域问题 13

◆类型1对数函数的定义域 13

◆类型2对数型复合函数的定义域 15

◆类型3与定义域相关的含参取值问题 17

◆类型4与定义域相关的含参取值范围问题 20

题型4对数函数图象过定点问题 22

◆类型1对数型函数的定点 22

◆类型2对数型函数与点坐标相关的问题 24

题型5对数函数图像问题 26

◆类型1对函型函数的图形选择 26

◆类型2对数型函数图像的画法 30

◆类型3对数型函数的图像含参问题 34

◆类型4对数型函数的图像与底数的大小关系问题 37

题型6利用对数函数的性质比较大小 40

题型7对数函数不等式 43

◆类型1不含参的对数不等式 43

◆类型2含参对数不等式 46

◆类型3抽象不等式 48

题型8与对数函数的单调性有关的问题 57

◆类型1对数函数单调性的判断 57

◆类型2对数函数的单调区间 61

◆类型3复合函数的单调性 63

◆类型4单调性求参数取值范围问题 68

题型9奇偶性相关问题 72

知识点一.对数函数的定义

1．对数函数的概念

函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

2.两种特殊的对数函数

（1）常用对数函数：以10为底的对数函数.

（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.

知识点二.对数函数的图象与性质

对数函数的图象与性质列表如下：

y＝logax(a0，且a≠1)

底数

a1

0a1

图象

定义域

(0，＋∞)

值域

R

单调性

在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数

共点性

图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0

函数值特点

x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；

x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)

x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；

x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]

对称性

函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称

注意：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质.

知识点三.不同底的对数函数图象的相对位置

一般地，对于底数a1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0a1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴．

题型1对数函数的概念

【方法总结】判断一个函数是否为对数函数的方法

对数函数必须是形如y＝logax(a0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：

(1)对数式系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数．

(3)对数的真数仅有自变量x.

【例题1】（2021上·高一校考课时练习）下列函数中，是对数函数的有

①y=logax(a∈R)；②y=log8x；③

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据对数函数的概念分析可得答案.

【详解】①y=logax在a0且a≠1

②y=log8x和

④y=log

⑤y=2log4x

故选：B.

【变式1-1】1.（2022·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（????）

A．y=loga(2x) B．y=lg10x

【答案】D

【分析】根据对数函数的概念即得.

【详解】因为函数y=logax(a0

所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.

故选：D.

【变式1-1】2.（多选）（2023上·贵州遵义·高一统考期末）（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有（????）

A．y=logπx B．y=log2x

【答案】AB

【分析】根据对数函数的定义知，形如y=logax(a0

【详解】根据对数函数的定义知，y=logπx

而y=log4x

故选：AB

【变式1-1】3.（多选）（2022上·高一课时练习）下列函数为对数函数的是（????）

A．fx=logm?1x（m1，且

C．fx=ln

【答案】AC

【分析】根据对数函数的定义判断各选项即可.

【详解】形如y=logax（a0

对于A，由m1，且m≠2，可知m?10，且m?1≠1，故A符合题意；

对于B，不符合题意；

对于C，符合题意；

对于D，不符合题意；

故选：AC.

【变式1-1】4.（2023·全国·高一专题练习）指出下列函数中，哪些是对数函数？

①y=5

②y=?log

③y=log

④y=log

⑤y=log