高中数学同步精品讲义：古典概型.docxVIP

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古典概型

TOC\o1-3\h\z\u题型1古典概型的判断 3

题型2古典概型的概率 6

题型3有放回、无放回的概率模型的求法 10

◆类型1无放回 10

◆类型2有放回 13

◆类型3有无放回 18

题型4根据古典概型的概率求参数问题 24

知识点一.古典概型的概念

1.定义：一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的（简称为有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（即基本事件）发生的可能性大小都相等（简称为等可能性）则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.

2.古典概型的判断标准：

一个随机试验是否能归结为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性与等可能性．因此，并不是所有的试验都能归结为古典概型．下列三类试验都不是古典概型∶

样本点个数有限，但非等可能；

样本点个数无限，但等可能

样本点个数无限，但非等可能.

知识点二.古典概型的概率公式

1.公式：古典概型中，事件发生的概率可以通过下述方式得到∶假设样本空间含有n个样本点，由古典概型的定义可知，每个基本事件发生的可能性大小都相等，又因为必然事件发生的概率为1，因此由互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件发生的概率均为1n

包含有m个样本点，则再由互斥事件的概率加法公式可知P（C）=mn

注意：

(1)若试验不是古典概型，则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率.

(2)计算古典概型概率的关键是求样本点总个数n和所求事件包含的样本点个数m.这种计算方式避免了大量重复试验，通过分析样本点的个数就可以计算随机事件发生的概率，而且得到的概率是精确值.

说明∶注意一个样本点是某一次试验出现的结果，不是几次试验的结果，即保证m，n均为等可能样本点的个数.

2.从集合的角度理解古典概型的概率计算公式

用集合的观点来考察事件C的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件C与样本点的关系，有利于理解公式P（C）=mn

把一次试验中等可能出现的n个样本点组成一个集合I，其中每一个样本点就是I中的一个元素，把含m个样本点的事件C看作含有m个元素的集合，则集合C是集合I的一个子集，故有P（C）=mn

知识点三.较复杂的古典概型问题

设事件A，B是Ω中的两个事件，如图所示，设样本空间Ω的样本点总数为n，事件A，B包含的样本点的个数分别为m1，m2，事件A∩B包含的样本点数为m，易知A∪B中包含的样本点数为m1+m2-m,

注意：

1.P（A）=事件A包含的样本点的个数Ω中包含的样本点的个数=m

2.P（AB）=AB中包含的样本点的个数Ω中包含的样本点的个数=m

3.P（A＋B）==A+B中包含的样本点的个数Ω中包含的样本点的个数=m

注意：设A，B是Ω的两个事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），这就是概率的一般加法公式，该公式也适合A，B为互斥事件的情况，因为P（AB）=0。

题型1古典概型的判断

【方法总结】古典概型的判断

1.有限性∶判断试验的样本空间包含的样本点是否是有限个，若样本点无限个，即不可数，则不是古典概型.

2.等可能性∶考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则不是古典概型.

只有同时具备了上述两个特征，才是古典概型.

【例题1】（2023下·新疆·高一校考期末）下列实验中，是古典概型的有（????）

A．某人射击中靶或不中靶

B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个

C．四名同学用抽签法选一人参加会议

D．从区间1,10上任取一个实数，求取到1的概率

【答案】C

【分析】根据古典概型的性质判断各项所描述的试验是否满足要求即可.

【详解】由古典概型性质：基本事件的有限性及它们的发生是等可能的，

A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不满足；

B：基本事件坐标系中整数点是无限的，不满足；

C：基本事件是四名同学是有限的，且抽到的概率相等，满足；

D：基本事件是区间1,10上所有实数是无限的，不满足；

故选：C

【变式1-1】1．（2022·高一课时练习）下列试验是古典概型的是（????）

A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点

B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环

C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲

D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽

【答案】C

【分析】根据古典概型的特征依次判断即可.

【详解】对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，故该选项错误；

对于B，命中0环，1环，2环…，10环的概率不相同，不满足等可能性特征，故该选项错误