初等数学研究(八)轨迹-PPT.pptxVIP

初等数学研究(八)轨迹;一、轨迹的意义

1.轨迹定义：满足某种条件C的一切点所构成的图形F，称为符合条件C的点的轨迹。

2.关于轨迹的证明：要判定一个图形F是符合条件C的点轨迹，必须从以下两方面去证明：

(1)符合条件C的所有点都在图形F上；(完备性)

(2)图形F上的点都符合条件C。(纯粹性);完备性、纯粹性的等价命题

(1′)完备性：不在图形F上的点都不符合条件C；

(2′)纯粹性：不符合条件C的点都不在图形F上。

也就是说(1)(1′)，(2)(2′)，

所以，轨迹的证明可取：(1)(2)；(1)(2′)；(1′)(2)；(1′)(2′)四种不同的形式(其实质相同)

一般先选择(1)(2)证明，非必须，一般不用其他方法。;例题选讲;二、原人教版中学教材中六个基本轨迹定理;1.到两个已知点的距离相等的点的轨迹,是

连结这两点的线段的垂直平分线;

2.和两条相交直线距离相等的点的轨迹,是

平分这两条已知直线所成角的两条互相垂直的直线;

3.和两条平行直线距离相等的点的轨迹,是

和这两条直线平行并且距离相等的一条直线;

4.和一条直线的距离等于定长线段的点的轨迹,是

和这条直线平行并且距离等于定长的两条直线;

5.和已知点的距离等于定长线段的点的轨迹,是

以已知点为圆心,以定长线段为半径的圆;

6.对一条线段所张的角等于定角的点的轨迹,是

以这条线段为弦,所含的圆周角等于这定角的两个弧.;三、轨迹命题的三种类型;大家应该也有点累了，稍作休息;1.第一类型;2.第二类型;这类轨迹命题同样具有定理的形式。但在解题方面与第一类型又有所不同。首先需要探知轨迹的大小和位置。因此，解决这类命题的方法步骤大致为：

①探求轨迹图形的位置和大小，使其基本轮廓确定；

②证明［包括证完备性、纯粹性、下结论］

③讨论：即研究给定的条件对轨迹图形的影响。(有些特殊的点、线问题);3.第三类型;???、轨迹命题举例(一);;证明：(1)完备性

设P为平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，连OP，则因O是AB的中点，P是BD的中点，知OP是△ABD的中位线，从而，即点P在⊙o上;(2)纯粹性

设P′是⊙O上的任一点，连AP′并延长至C′点，使P′C′=AP′,连BP′并延长到D′点，使P′D′=BP′，则ABC′D′是一个平行四边形，对角线交点为P′。;关于轨迹上的特殊点;第二类型;例4.和两个定点距离等于定比(不等于1)的点的轨迹是一个圆周，称为阿氏圆。

已知：A、B为两定点。求：点P的轨迹，使PA︰PB=m(常数)(m≠1);;;第三类型;常用的五种探求方法;1.性质预测法;过O作直径AB的垂半径OD，则已知图形关于OD对称；由于条件也关于OD对称，故轨迹应关于OD对称。当点C趋近于B时，所论角平分线趋近于BD，动点P趋近于BD的中点G，因而点G及和G关于OD对称的点H(AD的中点)为轨迹的两个端点。;2.找特殊点法;例8.AB是定半圆所在圆的直径，O是圆心，C是半圆上一个动点，CD⊥AB，D是垂足，在半径OC上截取OP使OP＝CD，求P点的轨迹。(如图)

;M·;;3.描迹法;例12．三角形有一内角固定，夹此角的两边的和为定值，求第三边中点的轨迹。;探求：;继续探求：;4．间接求迹法;例3．一个动点向定三角形的三边引垂线，并且三个垂足是共线的，求这个动点的轨迹。;小结：

前面共介绍了初等几何中探求轨迹问题常见的五种方法，但在探求轨迹时，我们还应注意以下两点：一、必须注意轨迹的界限，否则就会出现有瑕的轨迹二、必须仔细、周密、全面地审题，要注意挖掘题设条件中蕴含着的多种情况。