高中数学同步精品讲义：频率与概率.docxVIP

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频率与概率

TOC\o1-3\h\z\u题型1概率的定义 2

题型2频率与概率概念的理解 5

题型3用频率估计概率 9

题型4游戏的公平性 13

题型5随机模拟法估计概率 16

知识点一.用频率估计概率

1.定义∶一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P（A）的估计值为m

2.性质∶事件A的概率P（A）满足0≤P（A）≤1。特别地，当A是必然事件时，P（A）=1，当A是不可能事件时，P（A）=0。

注意：频率与概率的区别和联系。

①频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率不同。

②概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次的试验无关。

③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率。在实际问题中，通常事件发生的概率未知，常用频率作为它的估计值。

④二者都介于0~1之间，若A是不可能事件，则P（A）=0；若A是必然事件，则P（A）=1。

3.概率的统计定义

（1）对频率随机性的理解

在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.

（2）对频率稳定性的理解

随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn（A）会逐

渐稳定于事件A发生的概率P（A）.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.

如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率mn，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P（A）的估计值为m

4.产生随机数的方法

（1）利用计算器或计算机软件产生随机数.

（2）构建模拟试验产生随机数.

5.蒙特卡洛方法

利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.

用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法真正进行．因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法，它可以在短时间内多次重复地来做试验，不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域.

题型1概率的定义

【方法总结】三个方面理解概率

（1）概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.

（2）由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映.

（3）正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.

【例题1】（2021·高一课时练习）“某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么若前9个病人都没有治愈，则第10个人一定能治愈”，这个说法正确吗？

【答案】不正确，治愈率仍为10%

【分析】利用对概率定义的辨析即可得到结果.

【详解】如果把治疗一个病人作为一次试验，这个病人的治愈率是10%，即随着试验次数的增加，即治疗的病人数的增加，大约有10%的人能够治愈；但对于某一次试验来说，其结果是随机的，因此前9个病人没有治愈是可能的，对第10个人来说，其结果仍然是随机的，既有可能治愈，也可能没有治愈，治愈率仍为10%.

因此该说法不正确，治愈率仍为10%.

【变式1-1】1.（2023上·全国·高一专题练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件A=“正面向上”，则下列说法正确的是（????）

A．抛掷硬币10次，事件A必发生5次

B．抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次

C．抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5

D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率逐渐稳定在0.5附近

【答案】D

【分析】根据频率与概率的关系可得答案.

【详解】不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；

随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；

故选：D

【变式1-1】2.（多选）（2021·高一课时练习）（多选）关于频率和概率，下列说法正确的是（????）

A．某同学投篮3次，命中2次，则该同学每次投篮命中的概率为2

B．费勒抛掷10000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.4979；皮尔逊抛掷24000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.5005．如果某同学抛掷36000次硬币那么得到硬币正面向上的频率可能大于0.5005

C．某类种子发芽的概率为0.903，若抽取2000粒种子试种，则一定会有1806粒种子发芽

D．将一颗质地均匀的骰子抛掷6000次，则掷出的点数大于2的次数大约为4000次

【答案】BD

【分析】通过对频率和概率的定义的理解，即可判断各选项，从而得出答案.

【详解】解：A中，某同学投篮3次，命中2次，