高中数学同步精品讲义：正切函数的性质与图像.docxVIP

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正切函数的性质与图像

TOC\o1-3\h\u题型1正切函数的图象的画法 2

题型2正切函数的定义域与不等式 6

◆类型1定义域问题 6

◆类型2正切型函数不等式问题 8

题型3正切函数与零点问题 12

题型4正切函数的周期性 15

题型5正切函数的奇偶性 19

题型6正切函数的对称中心 24

题型7正切函数比较大小 26

题型8正切函数的单调性 30

题型9正切函数的值域 36

◆类型1正切型函数的值域 36

◆类型2复合函数的值域 38

◆类型3含参问题 40

知识点一.正切函数的定义

定义：对于任意一个角x，只要就有唯一确定的正切值tanx与之对应，因此y=tanx是一个函数，称之为正切函数。，

知识点二.正切函数的图象

正切函数，且的图象，称“正切曲线”

知识点三.函数y＝tanx的图象与性质

解析式

y＝tanx

图象

定义域

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))

值域

R

最小正周期

π

奇偶性

奇函数

单调性

在每个开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上都是增函数

对称性

对称中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)

知识点四.正切型函数的性质

1．定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．

2.值域：

3．单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．

要点诠释：若，一般先用诱导公式化为，使的系数为正值，然后求单调区间．

4．奇偶性：当时为奇函数，否则，不具备奇偶性．

5．周期：最小正周期为．

题型1正切函数的图象的画法

【方法总结】“三点两线法”作正切曲线的简图

(1)“三点”分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，－1))，(kπ，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，1))，其中k∈Z；两线分别为直线x＝kπ－eq\f(π,2)和直线x＝kπ＋eq\f(π,2)，其中k∈Z.(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．

(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可．

【例题1】我们能用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图，类似地你能画出正切函数y＝tanx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的简图吗？

【解析】三个关键点：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－1))，(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1))，

两条平行线：x＝－eq\f(π,2)，x＝eq\f(π,2).

【变式1-1】1.画出下列函数的见图：（1）y=?tanx，

（2）y=tan2x，x∈?π,π；（3

【详解】（1）列表：

x

?

?

0

π

π

?tan

3

1

0

－1

?

描点连线：

（2）函数y=tan2x在区间

（3）函数y=|tanx|是将y=tanx在x

（4）先作出y=tan

因为f?x=tan

图象关于y轴对称，可作出y=tan

所以y=tan

【变式1-1】2.函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))在一个周期内的图象是()

【解析】函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的最小正周期为2π，排除B,D,选项C中，x=π3,y≠0,排除C，选A.

【变式1-1】3.函数在，)上的大致图象依次是下图中的()

A.①②③④ B.②①③④ C.①②④③ D.②①④③

【答案】C

【解析】对应的图象为①，对应的图象为②，对应的图象为④，对应的图象为③.故选C.

【变式1-1】4.函数在区间上的大致图像是（）

【解析】函数在区间上的图像关于y周对称，排除B,C;在区间（0，π2）上，y=tanx的图像始终在y=x的图像的上方，所以tanxx0,即tanxx

题型2正切函数的定义域与不等式

【方法总结】解正切不等式方法

①图像法，即