高中数学同步学案 合情推理.doc

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2.1合情推理与演绎推理

2．1.1合情推理

eq\a\vs4\al([对应学生用书P11])

推理

1．推理的概念与分类

(1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式就是推理．

(2)推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设),叫做前提；一部分是由已知判断推出的判断,叫做结论．

(3)推理一般分为合情推理与演绎推理．

2．合情推理

前提为真时,结论可能为真的推理,叫做合情推理．常用的合情推理有归纳推理和类比推理.

归纳推理

问题1：图(甲)是第七届国际数学教育大会的会徽图案,会徽的主体图案是由如图(乙)所示的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1,把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn的长度构成数列{an}．

试计算a1,a2,a3,a4的值．

提示：由图知：a1＝OA1＝1,

a2＝OA2＝eq\r(OA\o\al(2,1)＋A1A\o\al(2,2))＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2),

a3＝OA3＝eq\r(OA\o\al(2,2)＋A2A\o\al(2,3))＝eq\r(?\r(2)?2＋12)＝eq\r(3),

a4＝OA4＝eq\r(OA\o\al(2,3)＋A3A\o\al(2,4))＝eq\r(?\r(3)?2＋12)＝eq\r(4)＝2.

问题2：由问题1中的结果,你能猜想出数列{an}的通项公式an吗？

提示：能猜想出an＝eq\r(n).(n∈N＋)

问题3：直角三角形,等腰三角形,等边三角形的内角和都是180°,你能猜想出什么结论？

提示：所有三角形的内角和都是180°.

问题4：以上两个推理有什么共同特点？

提示：都是由特殊推想出一般结论．

归纳推理

(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理(简称归纳),归纳是从特殊到一般的过程．

(2)归纳推理的一般步骤：

①通过观察个别情况发现某些相同性质；

②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).

类比推理

已知三角形的如下性质

(1)三角形的两边之和大于第三边；

(2)三角形的面积等于高与底乘积的eq\f(1,2).

问题1：试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．

提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．

(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的eq\f(1,3).

问题2：以上两个推理有什么共同特点？

提示：根据三角形的特征,推出四面体的特征．

问题3：以上两个推理是归纳推理吗？

提示：不是．归纳推理是从特殊到一般的推理,而以上两个推理是从其中一类事物的性质去推测另一类事物的性质的推理．

类比推理

(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理,叫做类比推理(简称类比)．

(2)类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或一致性；

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)．

1．归纳推理的特点：

(1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论,该结论超越了前提所包含的范围．

(2)归纳出的结论具有猜测性质,是否属实,还需逻辑证明和实践检验,即结论不一定可靠．

2．类比推理的特点：

(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发,推测正在研究的事物的属性,提出新问题作出新发现．

(2)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它有发现功能．

3．归纳推理和类比推理都属于合情推理．

eq\a\vs4\al([对应学生用书P12])

数、式中的归纳推理

[例1]根据下列条件,写出数列的前4项,并归纳猜想它的通项公式：

(1)a1＝1,an＋1＝2an＋1(n∈N＋)；

(2)a1＝1,an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n∈N＋)．

[思路点拨]eq\x(由a1求a2)→eq\x(由a2求a3)→eq\x(由a3求a4)→eq\x(分析a1、a2、a3、a4的结构特征)→eq\x(猜想通项公式)

[精解详析](1)由an＋1＝2an＋1及a1＝1得a2＝2×1＋1＝3,

a3＝2×3＋1＝7,a4＝2×7＋1＝15,

a5＝2×15＋1＝31.

由a1＝1＝21－1,a2＝3＝22－1,

a3＝7＝23－1,a4＝15＝24－1,a5＝31＝25－1,

可归纳猜想an＝2n－1(n∈N＋)．

(2)当n＝1时,a1＝1,由an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n∈N＋)得

a2＝eq\f(a1,1＋a1)＝eq\f(1,2),

a3＝eq\f(a2,1＋a2)＝