高中数学同步精品讲义：指数函数与对数函数的关系.docxVIP

PAGE

PAGE1

指数函数与对数函数的关系

TOC\o1-3\h\z\u题型1反函数存在的条件 2

题型2求反函数的解析式 5

题型3反函数求值 12

题型4过定点问题 14

题型5反函数含参问题 16

题型6反函数的图像 18

题型7反函数的性质 20

题型8反函数定义域 21

题型9反函数的值域与最值 23

题型10反函数与单调区间 25

题型11奇偶性相关问题 32

题型12反函数取值范围相关问题 37

题型13反函数与不等式 40

题型14反函数与零点结合 44

题型15有解问题 46

题型16恒成立问题 49

知识点一.反函数

1.反函数的概念

一般地，如果在函数y=f（x）中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f（x）的反函数.此时，称y=f（x）存在反函数.

2.反函数的记法∶函数y=f（x）的反函数记作y=f-1（x）.

3.反函数的性质：

①y=f（x）的定义域与y=f-1（x）的值域相同，

=2\*GB3②y=f（x）的值域与y=f-1（x）的定义域相同，

=3\*GB3③y=f（x）与y=f-1（x）的图像关于直线y=x对称.

=4\*GB3④如果y=f（x）是单调函数，那么它的反函数y=f-1（x）一定存在，

=5\*GB3⑤y=f（x）与y=f-1（x）具有相同的单调性.

此时，如果y=f（x）是增函数，则y=f-1（x）也是增函数；

如果y=f（x）是减函数，则y=f-1（x）也是减函数.

知识点二.指数函数与对数函数的关系

1.指数函数y=ax与对数函数y=logax（a0且a≠1）互为反函数

2.指数函数y=ax与对数函数y=logax（a0且a=1）的图像关于y=x对称.

由互为反函数的图像与性质可知，若函数y=f(x)的图像上有一点（a，b），则点（b，a）必在其反函数的图像上；反之，若点（b，a）在y=f(x)的反函数的图像上，则点（a，b）必在函数y=f（x）的图像上.

知识点三.求给定解析式的函数的反函数的步骤

1.求出原函数的值域，这就是反函数的定义域；

2.从y=f（x）中解出x

3.x，y互换并注明反函数的定义域.

题型1反函数存在的条件

【方法总结】

反函数的存在条件∶原函数中x、y是一对一确定的．一般来说，若f（x）在区间A上是单调的，那么f（x）在A上有反函数.

【例题1】试判断函数y=xx

【解析】任取R中x1x2，则有f(x1)-f(x2)=x1(x1)2+1-x2(x2)2+1=

【变式1-1】1.（2019·高一课时练习）下列函数中，存在反函数的是

A．y=

B．y=|x|

C．y=

D．y=

【答案】D

【分析】根据定义，存在反函数则x与y是一一对应的，特别是单调函数.

【详解】对于A，当y=1时，x=±1，不存在反函数；

对于B，当y=1时，x=±1，不存在反函数；

对于C，当y=0时，x=0或2，不存在反函数；

对于D，y=(x+2)

故选D

【点睛】本题考查反函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

【变式1-1】2.（2020·高一课时练习）判断下列各对函数是否互为反函数,若是,则求出它们的定义域和值域:

(1)y=ln

(2)y=?log

【答案】(1)互为反函数.y=lnx的定义域为(0，+∞),值域为R.y=e

(2)互为反函数.y=?logx的定义域为(0,+∞),值域为R.y=1

【解析】根据反函数的求解方法判断分析即可.

【详解】(1)求y=lnx的反函数有x=ln

y=lnx的定义域为(0，+∞),值域为R.y=e

(2)求y=?logax的反函数有x=?

y=?logx的定义域为(0,+∞),值域为R.y=1

【点睛】本题主要考查了指对数的反函数的求解与定义域值域的判定,属于基础题.

【变式1-1】3.（2020·高一课时练习）分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数.

（1）

x

1

2

3

4

5

f(x)

0

0

1

3

5

（2）

x

1

2

3

4

5

g(x)

?1

0

1

?2

5

【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）存在，见解析.

【解析】（1）当函数自变量与函数值一一对应时具有反函数,而f(x)=0自变量有两个值相等,即可判断存在反函数.

（2）由自变量与函数值一一对应,因此可判断存在反函数.

【详解】（1）当函数自变量与函数值一一对应时具有反函数

因为f(x)=0时,x=1或x=2,即对应的x不唯一

因