人教版高中数学必修第二册6.2.3向量的数乘运算【课件】.pptx

6.2.3向量的数乘运算;;预学案;一、向量的数乘?;【即时练习】判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)对于任意的向量a，总有0·a＝0.()

(2)当λ＞0时，|λa|＝λa.()

(3)若a≠0，λ≠0，则a与－λa的方向相反．()

(4)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．()

;二、向量数乘的运算律?

设λ，μ为任意实数

①λ(μa)＝________；

②(λ＋μ)a＝________；

③λ(a＋b)＝________．

特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝________．

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________．;【即时练习】3(2a－4b)＝()

A．5a＋7bB．5a－7b

C．6a＋12bD．6a－12b;三、向量共线定理?

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________.;?;

2．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.;微点拨?

(1)向量数乘仍是一个向量．λa中的实数λ叫做向量a的系数．

(2)不要忽略特殊情况：当λ＝0时，λa＝0.当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0.

(3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．

(4)向量的数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．当λ＞0时，沿着a的方向扩大(λ＞1)λ倍或缩小(0λ1)λ；当λ＜0时，沿着a的反方向扩大(|λ|＞1)λ倍或缩小(|λ|1)|λ|.

;微点拨?

(1)向量数乘运算律与实数乘法运算律很相似，只是向量数乘分配律由于因子的不同，可分为(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb.

(2)向量数乘运算律的理论依据是两个向量相等的定义．

微点拨?

(1)由a＝λb?a∥b中，若λ＝0，则a＝0，零向量与任一向量都平行．若λ＞0，则a与b同向；若λ＜0，则a与b反向．

(2)由a∥b?a＝λb中，由λ的唯一性，得b≠0.

(3)该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一非零向量线性表示，可以用来求参数λ，它是轴上向量坐标化的依据．;共学案;

【学习目标】

(1)了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．

(2)理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．

(3)理解并掌握两向量共线的性质及判定方法．;题型1向量的数乘运算

【问题探究1】(1)如图，已知非零向量a作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？

(2)λa的几何意义是什么？;?;例1(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是()

A．当λ0时，λa的方向与a的方向一定相反

B．当λ＝0时，λa与a是共线向量

C．|λa|＝λ|a|

D．当λμ0时，λa的方向与μa的方向一定相同;

解析：根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λa＝0，0与a是共线向量，故B正确；对于D，由λμ0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；对于C，|λa|＝|λ||a|，C错误．故选ABD.;?;跟踪训练1设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()

A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同

C．|－λa|≥|a|D．|－λa||λ||a|;题型2向量的线性运算

【问题探究2】已知向量a，请通过作图判断以下结论是否成立？你能据此归纳出向量数乘的运算律吗？

(1)3(2a)＝6a；

(2)(2＋3)a＝2a＋3a；

(3)2(a＋b)＝2a＋2b.;提示：(1)作图如下：

故3(2a)＝6a成立．

(2)作图如下：

故(2＋3)a＝2a＋3a成立．

(3)作图如下：

故2(a＋b)＝2a＋2b成立．;?;题后师说

向量线性运算的两种方法;?;

(2)已知向量x，y满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则x＝________，y＝________(用a，b表示)．

?;?;题后师说

用已知向量表示其他向量的两种方法;?;

题型4向量共线定理

【问题探究3】引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？;?;?;

一题多变本例条件不变，将(2)改为：欲使ke1＋2e2和2e1＋ke2共线，试确定实数k的值．