高中数学同步学案 独立性检验.docVIP

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1.1独立性检验

eq\a\vs4\al([对应学生用书P2])

相互独立事件

从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任意抽取一张,设事件A＝“抽出的是写有偶数的卡片”,B＝“抽出的是写有3的倍数的卡片”．

问题1：计算P(A),P(B)．

提示：P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2),

P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).

问题2：把事件A,B同时发生记作AB,计算P(AB)．

提示：P(AB)＝eq\f(1,6).

问题3：P(A),P(B),P(AB)之间有什么关系？

提示：P(AB)＝P(A)·P(B)．

1．定义

一般地,对于两个事件A,B,如果有P(AB)＝P(A)P(B),就称事件A与B相互独立,简称A与B独立．

2．性质

当事件A与B独立时,事件eq\x\to(A)与B,A与eq\x\to(B),eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也独立．

3．定义的推广

如果有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An),则称事件A1,A2,A3,…,An相互独立．

独立性检验

1.2×2列联表

B

eq\x\to(B)

合计

A

n11

n12

n1＋

eq\x\to(A)

n21

n22

n2＋

合计

n＋1

n＋2

n

其中：n＋1＝n11＋n21,n＋2＝n12＋n22,n1＋＝n11＋n12,n2＋＝n21＋n22,n＝n11＋n21＋n12＋n22.

2．独立性检验

(1)χ2统计量的表达式χ2＝eq\f(n?n11n22－n12n21?2,n1＋n2＋n＋1n＋2).

(2)经过对χ2统计量分布的研究,已经得到了两个临界值：3.841与6.635

①当χ23.841时,有95%的把握说事件A与B有关；

②当χ26.635时,有99%的把握说事件A与B有关；

③当χ2≤3.841时,认为事件A与B是无关的．

1．事件的独立性,A与B,eq\x\to(A)与B,A与eq\x\to(B),eq\x\to(A)与eq\x\to(B)只要有一对相互独立,其余三对必然也相互独立．

2．在列联表中,如果两个事件没有关系,则应有n11n22－n12n21≈0,因此|n11n22－n12n21|越小,说明两个事件之间关系越弱；|n11n22－n12n21|越大,说明两个事件之间关系越强．

3．利用χ2进行独立性检验,可以对推断的正确性的概率作出估计,样本容量n越大,这个估计值越准确．如果抽取的样本容量很小,那么利用χ2进行独立性检验的结果就不具有可靠性．

eq\a\vs4\al([对应学生用书P3])

事件的独立性

[例1]一个家庭中有若干个小孩,假设生男孩和生女孩是等可能的,设A＝{一个家庭中有男孩,又有女孩},B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形讨论事件A与事件B的独立性．

(1)家庭中有两个小孩；

(2)家庭中有三个小孩．

[思路点拨]利用P(AB)与P(A)P(B)是否相等来判定．

[精解详析](1)有两个小孩的家庭,对应的样本空间Ω＝{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},有4个基本事件,每个基本事件发生的概率均为eq\f(1,4),

这时A＝{(男,女),(女,男)},B＝{(男,男),(男,女),(女,男)}

AB＝{(男,女),(女,男)},

于是P(A)＝eq\f(1,2),P(B)＝eq\f(3,4),P(AB)＝eq\f(1,2).

由此可知P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A与事件B不相互独立．

(2)有三个小孩的家庭,样本空间为Ω＝{(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},

由等可能性知,每个基本事件发生的概率均为eq\f(1,8),

这时A中有6个基本事件,B中有4个基本事件,AB中含有3个基本事件,

于是P(A)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4),P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2),P(AB)＝eq\f(3,8).

P(A)P(B)＝eq\f(3,8),

即P(AB)＝eq\f(3,8)＝P(A)P(B)成立,所以事件A与事件B是相互独立的．

[一点通]事件A与事件B相互独立的检验,应充分利用相互独立的定义,验证P(AB)与P(A)P(B)是否相等,若相等则相互独立；若不相等,则不相互独立．解决这一类问题,关键在于准确求出基本事件空间中的基本事件总数,确定事件A与事件B的概率．另一个关键点是正确理解题意,分析出事件AB中的基本事件的个数,求出P(AB),即事件A与事件B同时发生的概率．

1．从一副52张的扑克牌(不含大小王)中,任意抽