高中数学同步学案 复数的乘法和除法.docVIP

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3．2.2复数的乘法和除法

eq\a\vs4\al([对应学生用书P38])

复数的乘法

设z1＝a＋bi,z2＝c＋di,(a,b,c,d∈R)

问题1：如何规定两复数相乘？

提示：两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成－1,并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.

问题2：根据问题1中的规定复数的乘法运算是否满足交换律？

提示：满足．

z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i,

z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.

故z1z2＝z2z1.

1．复数的乘法

设z1＝a＋bi,z2＝c＋di,a,b,c,d∈R,定义z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

2．复数乘法的运算律

(1)对于任意z1,z2,z3∈C,有

交换律

z1·z2＝z2·z1

结合律

(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)

乘法对加法的分配律

z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3

(2)对复数z,z1,z2和自然数m,n有zm·zn＝zm＋n,(zm)n＝zmn,(z1·z2)n＝zeq\o\al(n,1)zeq\o\al(n,2).

3．共轭复数的性质

设z的共轭复数为eq\x\to(z),则

(1)z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2；

(2)eq\x\to(z2)＝(eq\x\to(z))2；

(3)eq\x\to(z·z2)＝eq\x\to(z1)·eq\x\to(z2).

复数的除法

问题1：复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a,b∈R)有什么关系？

提示：两复数实部相等,虚部互为相反数．

问题2：试求z1＝a＋bi,z2＝a－bi(a,b∈R)的积．

提示：z1z2＝a2＋b2,积为实数．

问题3：如何规定两复数z1＝a＋bi,z2＝c＋di(a、b、c、d∈R,c＋di≠0)相除？

提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成eq\f(a＋bi,c＋di)的形式,再把分子与分母都乘c－di,化简后可得结果．

即eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(?a＋bi??c－di?,?c＋di??c－di?)＝eq\f(?ac＋bd?＋?bc－ad?i,c2＋d2)

＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．

1．复数的倒数

设z＝a＋bi(a,b∈R)．如果存在一个复数z′,使z·z′＝1,则z′叫做z的倒数,记作eq\f(1,z).

2．复数的除法法则

设z1＝a＋bi,z2＝c＋di(c＋di≠0),

则eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(a,b,c,d∈R,且c＋di≠0)．

1．复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1,再把实部,虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数,可推广到任意多个复数,任意多个复数的积仍然是一个复数．

2．复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式,然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．

eq\a\vs4\al([对应学生用书P39])

复数的乘除运算

[例1]计算：

(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；

(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))(1＋i)；

(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；

(4)eq\f(3＋2i,2－3i)－eq\f(3－2i,2＋3i).

[思路点拨]按照复数的乘法与除法运算法则进行计算．

[精解详析](1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)

＝1－i2＋(－1＋i)

＝2－1＋i＝1＋i.

(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))(1＋i)

＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)－\f(\r(3),4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－\f(1,4)