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《微积分》各习题及详细答案

一、极限与连续

1.求极限：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$

答案：1

解析：根据极限的定义，当$x$趋近于0时，$\sinx$也趋近于0。但是，$\frac{\sinx}{x}$并不等于0，而是等于1。这是因为在$x$趋近于0的过程中，$\sinx$与$x$的比值趋近于1。因此，$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$。

2.判断函数$f(x)=\frac{x^21}{x1}$在$x=1$处的连续性。

答案：不连续

解析：当$x$趋近于1时，分子$x^21$趋近于0，分母$x1$也趋近于0。但是，由于分母为0，导致函数在$x=1$处无定义。因此，函数$f(x)=\frac{x^21}{x1}$在$x=1$处不连续。

二、导数与微分

1.求函数$f(x)=x^33x^2+2x$的导数。

答案：$f(x)=3x^26x+2$

解析：根据导数的定义，对函数$f(x)$求导，得到导数$f(x)$。具体计算过程如下：

$$

f(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)f(x)}{\Deltax}

$$

将$f(x)=x^33x^2+2x$代入上式，得到：

$$

f(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{(x+\Deltax)^33(x+\Deltax)^2+2(x+\Deltax)(x^33x^2+2x)}{\Deltax}

$$

经过化简，得到$f(x)=3x^26x+2$。

2.求函数$f(x)=e^x$在$x=0$处的微分。

答案：$df(x)=e^xdx$

解析：根据微分的定义，对函数$f(x)$求微分，得到微分$df(x)$。具体计算过程如下：

$$

df(x)=f(x)dx

$$

将$f(x)=e^x$代入上式，得到：

$$

df(x)=e^xdx

$$

因此，函数$f(x)=e^x$在$x=0$处的微分为$df(x)=e^xdx$。

三、不定积分

1.求不定积分：$\int(x^23x+2)dx$

答案：$\frac{1}{3}x^3\frac{3}{2}x^2+2x+C$

解析：根据不定积分的定义，对函数$x^23x+2$求不定积分，得到原函数。具体计算过程如下：

$$

\int(x^23x+2)dx=\frac{1}{3}x^3\frac{3}{2}x^2+2x+C

$$

其中，$C$为积分常数，表示所有原函数的集合。

2.求不定积分：$\inte^xdx$

答案：$e^x+C$

解析：根据不定积分的定义，对函数$e^x$求不定积分，得到原函数。具体计算过程如下：

$$

\inte^xdx=e^x+C

$$

其中，$C$为积分常数，表示所有原函数的集合。

四、定积分

1.求定积分：$\int_{0}^{1}(x^23x+2)dx$

答案：$\frac{1}{6}$

解析：根据定积分的定义，对函数$x^23x+2$在区间$[0,1]$上求定积分，得到积分值。具体计算过程如下：

$$

\int_{0}^{1}(x^23x+2)dx=\left[\frac{1}{3}x^3\frac{3}{2}x^2+2x\right]_{0}^{1}

$$

将$x=1$和$x=0$代入上式，得到：

$$

\int_{0}^{1}(x^23x+2)dx=\left(\frac{1}{3}\frac{3}{2}+2\right)\left(00+0\right)=\frac{1}{6}

$$

2.求定积分：$\int_{0}^{\pi}\sinxdx$

答案：2

解析：根据定积分的定义，对函数$\sinx$在区间$[0,\pi]$上求定积分，得到积分值。具体计算过程如下：

$$

\int_{0}^{\pi}\sinxdx=\left[\cosx\right]_{0}^{\pi}

$$

将$x=\pi$和$x=0$代入上式，得到：

$$

\int_{0}^{\pi}\sinxdx=\cos(\pi)(\cos(0))=2

$$

五、级数

1.判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$的敛散性。