2025年数学大发现勾股定理.pdfVIP

士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?——《论语》

数学大发现勾股定理

勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这

是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。

可是，我国周朝初年（约2025年）的数学家商高早就讲到

过“勾广三，股修四，径隅五”，这实际上就是勾股定理的一个特例。

根据我国史书记载，早在公元前五六世纪，就用过勾方加股方等于弦

方的公式，不过没有证明过程。我国对勾股定理认识的发展是在西汉

时期。这一时期的研究既有理论又有应用，在《九章算术》中有详细

的记载。而定理的证明，三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股

圆方图注》进行了详细的记述。

赵爽在这本书中，画了一个弦图：两个全等的直角三角形（三角

形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩

形合成一个正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，其面

积叫做“中黄实”，也叫“差实”）。

赵爽释注道：“色股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。”开方

除之

222是当时开方运算的术语。上面这句话实际上就是勾股定理

即：a+b=c。他又巧妙地证明出：“按弦图，又可以勾股乘朱实二，

信之为朱实四。以勾股之差自相乘中黄实。加差实亦成弦实。”

百学须先立志。——朱熹

22

即2ab+（b-a）=c

222

化简便得出：a+b=c

这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来

勾股定理证明中最巧妙的一个。

勾股定理作为几何学中一条重要的定理，古往今来，有无数人探

索过它的证明方法。据说，它的证明方法有500来种。我国在清朝初

年有一位数学家叫梅文鼎（1633～1712年），他发明的一种证法

极为简便，只需用一张硬纸，剪上几剪刀，一拼就可证明出来，读者

如有兴趣不妨试一试。在1940年，一本名为《毕达哥拉斯命题》的

书中，就专门搜集了367个不同的证法。其中有一个证法最令人感兴

趣，它是由一位美国总统作出的！

根据当代著名数学科普作家马丁·加德纳的报道，1876年4月1

日，波士顿出版的一本周刊《新英格兰教育杂志》上刊出了勾股定理

的一个别开生面的证法，编者注明资料是由俄亥俄州共和党议员詹姆

土·A·加菲尔德提供的，是他和其他几位议员一起做数学游戏时想出来

的，并且得到了两党议员的一致同意。后来，加菲尔德被选为美国总

统。于是他的证明也就成为人们津津乐道的一段珍闻轶事了（据说这

是美国总统对数学的唯一贡献）。

加菲尔德的证法的确十分干净利落。作直角三角形ABC，设其边

长分别为BA=c是斜边，AC=b，BC=a。作AE⊥BA，并使

AE=BA，再延长CA到D，使AD=BC=a，连D、E，则四边形

CBED梯形，

穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》

11其面积等于DC(BC2

2

求证△DAE与△CBA是全等三角形，于是△