心中有“数”不得意忘“形” .pdf

心啮数柚”形”

数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。

在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问

题利用形来观察，揭示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数

含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻

找解题思路，使问题得到解决的方法称之为数形结合的思想方法。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来

解决数学问题的一种思想方法，包含“以形助数”和“以数解形”两个方。一是借

助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，在高中

数学的学习中，不仅要掌握学科有关知识，更重要的是能力的培养和提高。近几

年高考，往往通过图形、图表的识别、判断、分析，来考查学生的分析问题和解

决问题能力。而在解题过程中，如能适时、巧妙地应用数形结合的思想方法，则

可起到事半功倍的效果。笔者归纳了高中数学习题中渗透数形结合思想的常见题

型，并对其进行了简要解析。比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质。二

是借助于敷的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作

为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般

好，隔离分家万事非。”寥寥数语把数形结合说得淋漓尽致。数形结合是数学解

题中常用的一种数学思想方法，可以使抽象的数学问题直观化、生动化，能够变

抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题中的本质。数学教学不仅是数学知识

的教学，更重要的是数学思想方法的教学，教学中教师应注重对学生的观察、操

作、分析思维能力的培养，更应不断地渗透数学思想方法，将此作为教学的核心，

为学生的后继学习打下坚实的基础，使学生终身受益。

一、数形结合在解析几何中的应用

中学数学的基本知识分为三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方

程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平几何、立

体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。在高中数学解析

几何这一模块中，处理问题的常见方法有代数法和几何法。代数法是从“数”的角

度解决问题，几何法从“形”的角度解决问题，这两种方法相辅相成，相得益彰。

现举例如下：

例题：若直线y=x+k与曲线x=.恰有一个公共点，求实数k的取值范围。

解：（数形结合法）曲线x=■是单位圆x2+y2=1的右半圆（x20）,k是直

线y=x+k在v轴上的截距。

在同一坐标系中画出两曲线图象如图所示，可知：直线与曲线相切时，k=-«,

由图形可得k=-.或-1k1ov=p=,,H

利用数形结合的思想方法，能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数

学解题中具有极为独特的指导作用。

以数论形是解析几何侧重的手法，其思考方法就是几何条件解析化，即几何

条件（形）——等量关系（数）——代数方程（式），它是求曲线方程的关键和

困难之处。

笔者总结出转换数与形的三条途径：

1.通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。

2.转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如

转化为勾股定理或平上两点间的距离等。

3.构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。

二、数形结合在求解值域或最值问题中的应用

“数形结合”是求解数学问题的一种常用的思维方法。教师在教学中经常引导

学生创设“数形结合”的情境，不仅可以沟通数与形的内在联系，把代数式的精确

刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，力图在这种结合中寻找到解题的思

想与方法，同时又有利于开拓学生解题思路，发展学生的形象思维能力。

总之，数形结合的思想方法应用广泛，从以上的例子中可以发现，运用数形

结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化

了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越。由于“数形结合”具有形象直

观、易于接受等优点，且对于沟通知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生思路，

发展智能，提高数学水平有着独到的作用，作为一线的教师，我们要积极挖掘教

材中“数形结合”的例题与习题，注重引导学生动脑筋，设计确切的数学模型，创

设“数形结合”的情境，多加强学生形象思维的训练，进而促进学生从形象思维到

抽象思维的转