《高等数学》第3章 微分中值定理与导数的应用-教学课件（非AI生成）.ppt

备用题1.设函数上具有二阶导数，且满足证明序列发散.证：故序列发散.(2007考研）*保号性定理2.设在区间上连续,且试证存在使证:不防设必有使故保号性定理必有使故又在上连续,由零点定理知,存在使*3.已知函数内可导,且证:(1)令故存在使即(2005考研）*内可导,且(2)根据拉各朗日中值定理,存在使3.已知函数*阶导数,且存在相等的最大值,并满足4.设函数证:据泰勒定理,存在使由此得即有(2007考研）情形1.则有内具有二*阶导数,且存在相等的最大值,并满足情形2.因此据零点定理,存在即有则有4.设函数应用罗尔定理得内具有二*例2.用切线法求方程的近似解,使误差不超过0.01.解:由草图可见方程有唯一的正实根?,且*得而再求因此得满足精度要求的近似解*三.一般迭代法(补充)在隔根区按递推公式则?即为原方程的根.①式①称为迭代格式,初值.否则称为发散.*例3.用迭代法求方程解法1将方程变形为迭代格式为发散!解法2将方程变形为迭代格式为迭代收敛,1.32472为计算精度范围内的所求根.*定理.(证明略)迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关.可以证明下述定理:*内容小结1.隔根方法作图法二分法2.求近似根的方法二分法牛顿切线法简化牛顿法割线法一般迭代法思考与练习比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点.……作业(习题3-8)P1821;3习题课*二、导数应用习题课一、微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用第三章*拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理泰勒中值定理柯西中值定理*2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论*3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.*例1.设函数在内可导,且证明在内有界.证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.*例2.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点*例3.且试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证*例4.设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证:令则可设且由罗尔定理知存在一点使即*例5.设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且分析:所给条件可写为(2003考研)试证必存在想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在*例6.设函数在上二阶可导,且证明证:由泰勒公式得两式相减得*二、导数应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率2.解决最值问题目标函数的建立与简化最值的判别问题3.其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.4.补充定理(见下页)*设函数在上具有n阶导数,且则当时证:令则利用在处的n－1阶泰勒公式得因此时定理.*的连续性及导函数例7.填空题(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为