《高等数学》第5章 定积分-教学课件（非AI生成）.ppt

**因为对右端第二个积分令综上所述*例14.证明恒等式证:令则因此又故所证等式成立.*例15.试证使分析:即证故作辅助函数至少存在一点即*证明:令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点*思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:提示:设辅助函数例15*例16.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内f(x)0;(2)在(a,b)内存在点?,使(3)在(a,b)内存在与?相异的点?,使(2003考研)*证:(1)由f(x)在[a,b]上连续,知f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在*即(3)因在[a,?]上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得例16题*例17.设证:设且试证:则故F(x)单调不减,即②成立.②*作业P2694(1),(2);7;8(1);10(2),(5),(9);13第四节****运行时,点击按钮“性质7”,可显示性质7.*运行时,点击按钮“说明”,可显示变限积分求导公式.**运行时,点击按钮“公式”可显示变限积分求导公式.*****运行时,点击按钮“定理3”,可显示定理3的内容.*运行时,点击按钮“定理4”,可显示定理4的内容.*运行时,点击按钮“定理4”,可显示定理4的内容.*********定理5.证：则而*定义.设反常积分则称绝对收敛;则称条件收敛.例4.判断反常积分的敛散性.解:根据比较审敛原理知故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛).*无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常积分的审敛法由定义例如因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来.*定理6.(比较审敛法2)定理3瑕点,有有利用有类似定理3与定理4的如下审敛法.使对一切充分接近a的x(xa).*定理7.(极限审敛法2)定理4则有:1)当2)当例5.判别反常积分解:利用洛必达法则得根据极限审敛法2,所给积分发散.*例6.判定椭圆积分定理4散性.解:由于的敛根据极限审敛法2,椭圆积分收敛.*类似定理5,有下列结论:例7.判别反常积分的敛散性.解:称为绝对收敛.故对充分小从而据比较审敛法2,所给积分绝对收敛.则反常积分*三、?函数1.定义下面证明这个特殊函数在内收敛.令*综上所述,*2.性质(1)递推公式证:(分部积分)注意到:*(2)证:(3)余元公式:(证明略)*(4)得应用中常见的积分这表明左端的积分可用?函数来计算.例如,*内容小结1.两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法.2.若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛.3.?函数的定义及性质.思考与练习P2681(1),(2),(6),(7);5(1),(2)作业P2681(3),(4),(5),(8);2;3*习题课一、与定积分概念有关的问题的解法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题第五章*一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题例1.求解:因为时,所以利用夹逼准则得*1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理不对!因为依赖于且说明:2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.如,P270题7故没理由认为*解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则可知(1998考研)例2.求*