《高等数学》第7章 微分方程-教学课件（非AI生成）.ppt

由初始条件得故所求初值问题的解为*二、微分方程的应用1.建立数学模型—列微分方程问题建立微分方程(共性)利用物理规律利用几何关系确定定解条件(个性)初始条件边界条件可能还有衔接条件2.解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义*例4.解:欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.设人造地球卫星质量为m,地球质量为M,卫星的质心到地心的距离为h,由牛顿第二定律得:②(G为引力系数)则有初值问题:又设卫星的初速度③*②③代入原方程②,得两边积分得利用初始条件③,得因此注意到*为使因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,即④代入④即得这说明第二宇宙速度为*求质点的运动规律例5.上的力F所作的功与经过的时间t成正比(比例系数提示:两边对s求导得:牛顿第二定律…为k),开方如何定+–?已知一质量为m的质点作直线运动,作用在质点*例6.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m,另一端离钉子12m,力,求链条滑下来所需的时间.解:建立坐标系如图.设在时刻t,链条较长一段下垂xm,又设链条线密度为常数此时链条受力由牛顿第二定律,得如不计钉子对链条所产生的摩擦*由初始条件得故定解问题的解为解得(s)微分方程通解:当x=20m时,思考:若摩擦力为链条1m长的重量,定解问题的数学模型是什么?*摩擦力为链条1m长的重量时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来所需时间为*练习题从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为m,体积为B,海水比重为?,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k0),试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).(1995考研)提示:建立坐标系如图.质量m体积B由牛顿第二定律重力浮力阻力注意:*初始条件为用分离变量法解上述初值问题得作业P3484,6;P3533(8);4(2),(4)；7;*11(1)得质量m体积B第十一节*备用题有特而对应齐次方程有解微分方程的通解.解:故所给二阶非齐次方程为方程化为1.设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程*故再积分得通解复习:一阶线性微分方程通解公式:*2.设函数在r0内满足拉普拉斯方程二阶可导,试将方程化为以r为自变量的常微分方程,并求f(r).提示:利用对称性,即(欧拉方程)原方程可化为且*解初值问题:则原方程化为通解:利用初始条件得特解:**P321.例2*运行时,点击相片,或按钮“伯努利”,可显示伯努利的简介,并自动返回**运行时,点击按钮“P10”,可显示线性无关条件.*运行时,点击按钮“方程3”,或“代入③”,可显示方程③.*运行时,点击按钮“方程3”,或“代入③”,可显示方程③.**三个按钮“解的特征”分别指向自定义放映:“小阻尼”,“大阻尼”,“临界阻尼”,放映完毕自动返回.若不能调用,则需要重新定义这些自定义放映,并重新连接.****例2.解微分方程组解:则方程组可表为⑥⑦根据解线性方程组的克莱姆法则,有*⑥⑦即其特征方程:特征根:记记⑧代入⑧可得A＝1,故得⑧的通解:⑨求x:D×⑦－⑥得⑩⑨,⑩联立即为原方程的通解.*作业P3521(3),(6);2(2),(4)*一阶微分方程的习题课(一)一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题解法及应用第七章*一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别