（寒假）2024-2025学年高二数学寒假提升讲义+随堂检测 第03课 三角形中的范围与最值问题（原卷版）.docx

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第03课三角形中的范围与最值问题

1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：

（1）利用基本不等式求范围或最值；

（2）利用三角函数求范围或最值；

（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；

（4）根据三角形解的个数求范围或最值；

（5）利用二次函数求范围或最值．

要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．

2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：

（1）求角的最值；

（2）求边和周长的最值及范围；

（3）求面积的最值和范围．

题型一：周长问题

例1．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求C；

(2)若为锐角三角形，，求周长范围．

例2．在①；②；③；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

在锐角中，内角、、，的对边分别是、、，且______

(1)求角的大小；

(2)若，求周长的范围．

变式1．在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且.

(1)求角的大小；

(2)若，求周长的范围.

变式2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，．

(1)求角A的大小；

(2)求周长的范围．

题型二：面积问题

例3．已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，．

(1)求角A的值；

(2)若，求面积的范围．

例4．如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地，其中，，．物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖，其中，都在边上（，均不与重合，在，之间），且．

(1)若在距离点处，求点，之间的距离；

(2)设，

①求出的面积关于的表达式；

②为节省投入资金，三角形人工湖的面积要尽可能小，试确定的值，使得面积最小，并求出这个最小面积．

变式3．在①a＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积的值（或最大值）．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三边a，b，c与面积S满足关系式：，且______，求△ABC的面积的值（或最大值）．

变式4．在中，．

（1）D为线段上一点，且，求长度；

（2）若为锐角三角形，求面积的范围．

题型三：长度问题

例5．已知锐角内角的对边分别为.若.

(1)求；

(2)若，求的范围.

例6．在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，

(1)求角B﹔

(2)求的范围．

变式5．在中，内角，，所对的边分别，，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，当仅有一解时，写出的范围，并求的取值范围.

变式6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件；，．

（I）求角A的值；

（Ⅱ）求的范围．

题型四：转化为角范围问题

例7．设的内角的对边分别为，已知．

(1)判断的形状（锐角、直角、钝角三角形），并给出证明；

(2)求的最小值．

例8．已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且；

(1)若，判断的形状并说明理由；

(2)若是锐角三角形，求的取值范围.

变式7．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知.

(1)若，求角A的大小；

(2)求的取值范围.

变式8．在锐角中，角A，B，C所对的边分别是，．

（1）求角A的大小；

（2）求的取值范围．

题型五：倍角问题

例9．已知的内角，，的对边分别为，，．若，且为锐角，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

例10．在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为5，若，则的取值范围为______．

变式9．在锐角中，，的对边长分别是，，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

变式10．在锐角中，，，的对边分别是，，则的范围是（????）

A． B． C． D．

题型六：角平分线问题

例11．已知的内角的对边分别为，且.

(1)求角的大小；

(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.

例12．如图，中，，的平分线AD交BC于．

??

(1)若，求的余弦值；

(2)若，求AD的取值范围．

变式11．已知的内角所对的边分别为，且，角A的平分线与边交于点.

(1)求角A；

(2)若，求的最小值.

变式12．在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且．

(1)求证：；

(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．

三角形中的范围与最值问题随堂检测

1.在锐角△ABC中，，，

（1）求角A；

（2）求△ABC的周长l的范围.

2.已知在